یاد خواهید گرفت:
در ریاضیات، یک مجموعه مجموعه ای است که به خوبی تعریف شده از اشیاء متمایز یا به عبارت دیگر، فقط گروهی از چیزها با یک ویژگی مشترک است. به عنوان مثال، اعداد 1، 3، 6، 10 وقتی به طور جداگانه در نظر گرفته می شوند، اشیاء متمایز هستند، اما وقتی به طور جمعی در نظر گرفته شوند، یک مجموعه واحد به اندازه 4 را تشکیل می دهند که به صورت {1،3،6،10} نوشته می شود. چند مثال دیگر:
اشیایی که برای تشکیل یک مجموعه استفاده می شوند، عناصر یا اعضای یک مجموعه نامیده می شوند. یک مجموعه با توصیف محتویات یا فهرست کردن عناصر مجموعه در براکت های مجعد تعریف می شود که در آن هر عنصر با کاما (،) از هم جدا می شود.
اگر A مجموعه ای از رنگ ها باشد: سبز، آبی، زرد و قرمز پس
مجموعه A = {سبز، آبی، زرد، قرمز}
- برای نمایش یک مجموعه از حرف بزرگ استفاده می کنیم (در اینجا با A مشخص می شود).
- عناصر مجموعه A سبز، آبی، زرد و قرمز هستند.
- رنگ سبز به مجموعه A تعلق دارد ، این به عنوان \(\textrm{سبز} \in A\) نشان داده می شود.
- رنگ مشکی به مجموعه A تعلق ندارد ، این به عنوان \(\textrm{مشکی} \notin A\) نشان داده می شود.
- ترتیب عناصر در مجموعه مهم نیست. می توانیم A = {آبی، زرد، سبز، قرمز} بنویسیم
مجموعه ای که حاوی هیچ عنصری نباشد، { } مجموعه خالی نامیده می شود و با ø نشان داده می شود.
بیایید یک مجموعه دیگر B = {زرد، سبز، قرمز} را در نظر بگیریم. توجه داشته باشید که B تمام رنگ هایی را دارد که عناصر مجموعه A هستند. بنابراین ما B را زیر مجموعه A می گوییم و به صورت \(B \subset A\) می نویسیم.
نمایش یک مجموعه
یک مجموعه را می توان با روش های مختلفی نشان داد. 3 روش رایج مورد استفاده عبارتند از:
بیایید مثالی بزنیم و مجموعه را با توجه به این سه شکل تعریف کنیم:
فرم بیانیه : توضیحات به خوبی تعریف شده از عناصر مجموعه داده شده است. مثال: مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 6
فرم فهرست : عناصر در جفت پرانتز {} فهرست شده و با کاما از هم جدا می شوند. مثال بالا در فرم Roaster این است: N = {1, 2, 3, 4, 5 }
فرم Set Builder : مجموعه با ویژگی توصیف می شود که عضو آن باید ارضا شود. N = { x : x عدد طبیعی کمتر از 6 است
مجموعه‌های مساوی : اگر هر دو دارای عناصر یکسان باشند، به دو مجموعه مساوی گفته می‌شود. به عنوان مثال A = {1، 3، 4، 6} و B = {3، 4، 1، 6} مجموعه های مساوی هستند.
اندازه یک مجموعه: اندازه یک مجموعه به عدد Cardinality معروف است که با |A| نشان داده می شود (الف یک مجموعه است). مثال: A = {آبی، زرد، سبز، قرمز}، کاردینالیته مجموعه A 4 است، یعنی
\(|A| = 4\)
اندازه یک مجموعه می تواند محدود یا بی نهایت باشد. به مجموعه ای که تعداد عناصر محدودی دارد مجموعه ای محدود گفته می شود. مانند { 1، 2، 3، 4، 5} یک مجموعه متناهی است که کاردینالیته آن 5 است. مجموعه ای که دارای عناصر غیرقابل شمارش است مجموعه بی نهایت است. به عنوان مثال، مجموعه ای از تمام اعداد صحیح یک مجموعه بی نهایت است. مجموعه نامتناهی نمایش کمی متفاوت از مجموعه محدود دارد. به عنوان مثال: مجموعه تمام اعداد کامل یک مجموعه نامتناهی است و به صورت : W = {1, 2, 3, 4, ... } در اینجا سه نقطه به معنای "برای همیشه ادامه دارد" است.
نمادهای مورد استفاده برای انواع اعداد:
اعداد طبیعی: N، اعداد کامل: W، اعداد صحیح: Z، اعداد گویا: Q، اعداد حقیقی: R،
