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En mathématiques, un ensemble est une collection bien définie d’objets distincts ou, en d’autres termes, il s’agit simplement d’un groupe de choses ayant une certaine propriété en commun. Par exemple, les nombres 1, 3, 6, 10 sont des objets distincts lorsqu'ils sont considérés séparément, mais lorsqu'ils sont considérés collectivement, ils forment un seul ensemble de taille 4, écrit {1,3,6,10}. Quelques exemples supplémentaires :
Les objets utilisés pour former un ensemble sont appelés éléments ou membres d'un ensemble. Un ensemble est défini en décrivant le contenu ou en répertoriant les éléments de l'ensemble entre accolades où chaque élément est séparé par une virgule (,).
Si A est un ensemble de couleurs : Vert, Bleu, Jaune et Rouge alors
définir A = {Vert, Bleu, Jaune, Rouge}
- Nous utilisons une lettre majuscule pour représenter un ensemble (ici elle est notée A).
- Les éléments de l'ensemble A sont le vert, le bleu, le jaune et le rouge.
- La couleur verte « appartient » à l'ensemble A, ceci est noté \(\textrm{Vert} \in A\) .
- La couleur noire "n'appartient pas" à l'ensemble A, ceci est noté \(\textrm{Noir} \notin A\) .
- L'ordre des éléments dans l'ensemble n'a pas d'importance. On peut écrire A = {Bleu, Jaune, Vert, Rouge}
Un ensemble qui ne contient aucun élément, { } est appelé un ensemble vide et est noté ø.
Prenons un autre ensemble B = {Jaune, Vert, Rouge}. Notez que B a toutes les couleurs qui sont des éléments de l’ensemble A. Par conséquent, nous disons B comme un sous-ensemble de A et nous écrivons sous la forme \(B \subset A\) .
Représentation d'un ensemble
Un ensemble peut être représenté par différentes méthodes. 3 méthodes courantes utilisées sont :
Prenons un exemple et définissons l'ensemble selon ces trois formes :
Formulaire de déclaration : Une description bien définie des éléments de l'ensemble est donnée. Exemple : Ensemble de nombres naturels inférieurs à 6
Formulaire de liste : les éléments sont répertoriés entre parenthèses {} et séparés par des virgules. L'exemple ci-dessus sous forme de torréfacteur est : N = {1, 2, 3, 4, 5 }
Formulaire Set Builder : Set est décrit par une propriété que son membre doit satisfaire. N = { x : x est un nombre naturel inférieur à 6}
Ensembles égaux : Deux ensembles sont dits égaux si tous deux ont les mêmes éléments. Par exemple A = {1, 3, 4, 6} et B = {3, 4, 1, 6} sont des ensembles égaux.
Taille d'un ensemble : la taille d'un ensemble est connue sous le nom de nombre de cardinalité, noté |A| (A est un ensemble). Exemple : A = {Bleu, Jaune, Vert, Rouge}, La cardinalité de l'ensemble A est 4, soit
\(|A| = 4\)
La taille d'un ensemble peut être finie ou infinie. Un ensemble ayant un nombre fini d’éléments est dit un ensemble fini . Comme { 1, 2, 3, 4, 5} est un ensemble fini dont la cardinalité est 5. L'ensemble ayant d'innombrables éléments est l'ensemble infini . Par exemple, un ensemble de tous les entiers est un ensemble infini. L’ensemble infini a une représentation peu différente de l’ensemble fini. Par exemple : L'ensemble de tous les nombres entiers est un ensemble infini et est représenté par : W = {1, 2, 3, 4, ... } Ici, trois points signifient « continue pour toujours ».
Symboles utilisés pour les types de nombres :
Nombres naturels : N, Nombres entiers : W, Entiers : Z, Nombres rationnels : Q, Nombres réels : R,
