आपको सीखना होगा:
गणित में, एक सेट अलग-अलग वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है या, दूसरे शब्दों में, यह एक निश्चित संपत्ति के साथ चीजों का एक समूह है। उदाहरण के लिए संख्या 1, 3, 6, 10 अलग-अलग वस्तुएं हैं जब उन्हें अलग से माना जाता है, लेकिन जब उन्हें सामूहिक रूप से माना जाता है तो वे आकार 4 का एक सेट बनाते हैं, जिसे {1,3,6,10} के रूप में लिखा जाता है। कुछ और उदाहरण:
किसी समुच्चय को बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली वस्तुओं को समुच्चय के तत्व या सदस्य कहा जाता है। एक सेट को सामग्री का वर्णन करके या सेट के तत्वों को घुंघराले ब्रैकेट में सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जाता है जहां प्रत्येक तत्व को अल्पविराम (,) द्वारा अलग किया जाता है।
यदि A रंगों का एक समूह है: हरा, नीला, पीला और लाल तो
सेट ए = {हरा, नीला, पीला, लाल}
- हम एक सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक बड़े अक्षर का उपयोग करते हैं (यहां इसे ए के रूप में दर्शाया गया है)।
- सेट ए के तत्व हरा, नीला, पीला और लाल हैं।
- हरा रंग 'सेट ए' से संबंधित है , इसे \(\textrm{हरा} \in A\) के रूप में दर्शाया गया है।
- रंग काला 'सेट ए से संबंधित नहीं है' , इसे \(\textrm{काला} \notin A\) के रूप में दर्शाया गया है।
- सेट में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है. हम A = {नीला, पीला, हरा, लाल} लिख सकते हैं
एक सेट जिसमें कोई तत्व नहीं है, { } को एक खाली सेट कहा जाता है और इसे ø के रूप में दर्शाया जाता है।
आइए एक और सेट B = {पीला, हरा, लाल} लें। ध्यान दें कि B में वे सभी रंग हैं जो समुच्चय A के तत्व हैं। इसलिए हम B को A का उपसमुच्चय कहते हैं और हम \(B \subset A\) के रूप में लिखते हैं।
एक सेट का प्रतिनिधित्व
एक सेट को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है। उपयोग की जाने वाली 3 सामान्य विधियाँ हैं:
आइए एक उदाहरण लें और समुच्चय को इन तीन रूपों के अनुसार परिभाषित करें:
कथन प्रपत्र : समुच्चय के तत्वों का सुस्पष्ट विवरण दिया गया है। उदाहरण: 6 से कम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
रोस्टर फॉर्म : तत्वों को कोष्ठक {} की जोड़ी के भीतर सूचीबद्ध किया गया है और अल्पविराम से अलग किया गया है। रोस्टर फॉर्म में उपरोक्त उदाहरण है: एन = {1, 2, 3, 4, 5 }
सेट बिल्डर फॉर्म : सेट को एक संपत्ति द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे उसके सदस्य को संतुष्ट करना होगा। N = { x : x 6 से कम प्राकृतिक संख्या है}
समान समुच्चय : दो समुच्चय समान कहलाते हैं यदि दोनों के अवयव समान हों। उदाहरण के लिए A = {1, 3, 4, 6} और B = {3, 4, 1, 6} समान समुच्चय हैं।
सेट का आकार: सेट के आकार को कार्डिनैलिटी नंबर के रूप में जाना जाता है, जिसे |A| द्वारा दर्शाया जाता है (ए एक समुच्चय है)। उदाहरण: ए = {नीला, पीला, हरा, लाल}, सेट ए की कार्डिनैलिटी 4 है, यानी
\(|A| = 4\)
समुच्चय का आकार परिमित या अनंत हो सकता है। जिस समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित होती है उसे परिमित समुच्चय कहा जाता है। जैसे {1, 2, 3, 4, 5} एक परिमित समुच्चय है जिसकी प्रमुखता 5 है। जिस समुच्चय में असंख्य तत्व हैं वह अनंत समुच्चय है। उदाहरण के लिए, सभी पूर्णांकों का समुच्चय एक अनंत समुच्चय होता है। अनंत समुच्चय का प्रतिनिधित्व परिमित समुच्चय से थोड़ा भिन्न होता है। उदाहरण के लिए: सभी पूर्ण संख्याओं का समुच्चय एक अनंत समुच्चय है और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: W = {1, 2, 3, 4, ... } यहां तीन बिंदुओं का अर्थ है 'हमेशा चलता रहता है'।
संख्या प्रकारों के लिए प्रयुक्त प्रतीक:
प्राकृतिक संख्याएँ: N, पूर्ण संख्याएँ: W, पूर्णांक: Z, परिमेय संख्याएँ: Q, वास्तविक संख्याएँ: R,
