次のことを学びます:
数学では、セットとは、明確に定義された個別のオブジェクトのコレクション、または言い換えれば、共通の特定のプロパティを持つもののグループにすぎません。たとえば、数字 1、3、6、10 は、個別に考えると別個のオブジェクトですが、集合的に考えると、サイズ 4 の 1 つのセットを形成し、{1,3,6,10} と記述されます。さらにいくつかの例を示します:
セットを形成するために使用されるオブジェクトは、セットの要素またはメンバーと呼ばれます。セットは、内容を説明するか、セットの要素を中括弧で囲み、各要素をカンマ (,) で区切ってリストすることによって定義されます。
A が色のセットである場合: 緑、青、黄、赤
set A = {緑、青、黄、赤}
- セットを表すには大文字を使用します (ここでは A と表します)。
- セット A の要素は、緑、青、黄、赤です。
- 色 緑はセット A に「属し」 、これは\(\textrm{緑} \in A\)として示されます。
- 黒の色はセット A に「属していません」 。これは\(\textrm{黒} \notin A\)として表されます。
- セット内の要素の順序は重要ではありません。 A = {青、黄、緑、赤}と書くことができます。
要素を含まない集合 { } は空集合と呼ばれ、ø と表されます。
別のセット B = {黄、緑、赤} を考えてみましょう。 B は集合 A の要素であるすべての色を持っていることに注意してください。したがって、B を A の部分集合と呼び、 \(B \subset A\)と書きます。
集合の表現
集合はさまざまな方法で表現できます。使用される一般的な方法は次の 3 つです。
例として、次の 3 つの形式に従ってセットを定義してみましょう。
ステートメント形式: セットの要素について明確に定義された説明が与えられます。例: 6 未満の自然数の集合
名簿形式: 要素は一組の大括弧 {} 内にリストされ、カンマで区切られます。上記の Roaster 形式の例は次のとおりです: N = {1, 2, 3, 4, 5 }
Set Builder フォーム: Set は、そのメンバーが満たさなければならないプロパティによって記述されます。 N = { x : x は 6 未満の自然数}
等しい集合: 2 つの集合が同じ要素を持つ場合、2 つの集合は等しいと言われます。たとえば、A = {1, 3, 4, 6} と B = {3, 4, 1, 6} は等しいセットです。
セットのサイズ:セットのサイズはカーディナリティ番号として知られ、 |A| で示されます。 (Aはセットです)。例: A = {青、黄、緑、赤}、セット A のカーディナリティは 4、つまり
\(|A| = 4\)
セットのサイズは有限または無限になります。有限数の要素を持つ集合を有限集合と言います。 { 1, 2, 3, 4, 5} と同様に、基数が 5 である有限集合です。数えられない要素を持つ集合は無限集合です。たとえば、すべての整数のセットは無限セットです。無限集合の表現は有限集合とほとんど異なります。例: すべての整数の集合は無限集合であり、次のように表されます: W = {1, 2, 3, 4, ... } ここで、3 つのドットは「永遠に続く」を意味します。
数値タイプに使用される記号:
自然数：N、整数：W、整数：Z、有理数：Q、実数：R、
