Du wirst es lernen:
- Spezielle Produkte
- Produkt zweier Binome
- Produkt aus Summe und Differenz zweier Terme
- Erweiterungen
Die Multiplikation bestimmter Arten algebraischer Ausdrücke kann mithilfe bestimmter Regeln im Kopf berechnet werden. Solche Multiplikationen werden als spezielle Produkte bezeichnet.
Produkte zweier Binome
Finden wir die Produkte von \((x+y)(x+z)\) ,
Hier \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
Daher \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
Auf die gleiche Weise können wir problemlos folgende Spezialprodukte beziehen:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
Beispiele: Finden Sie die folgenden Produkte-
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
Produkt aus Summe und Differenz zweier Terme
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
ersetze z durch y
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
Erweiterungen
Wenn ein algebraischer Ausdruck mit sich selbst hoch zwei, drei oder einer anderen Potenz multipliziert wird, nennt man diesen Vorgang Erweiterung.
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
Beispiele:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
Perfektes quadratisches Trinom
Jedes Trinom, das als \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ oder } (x^2 - 2xy + y^2)\) ausgedrückt werden kann, wird als perfektes quadratisches Trinom bezeichnet.
\(x^2 + 2xy + y^2\) ist die Quadratzahl von (x+y) und \(x^2 - 2xy + y^2\) ist die Quadratzahl von (x−y).
