یاد خواهید گرفت:
- محصولات خاص
- محصول دو دوجمله ای
- حاصل جمع و تفاضل دو جمله
- بسط ها
ضرب انواع معینی از عبارات جبری را می توان با استفاده از قواعدی ذهنی به دست آورد. به این ضرب ضرب‌های خاص می‌گویند.
محصولات دو دو جمله ای
اجازه دهید محصولات \((x+y)(x+z)\) پیدا کنیم،
در اینجا \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
بنابراین \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
به همین ترتیب می توانیم محصولات ویژه زیر را به راحتی تهیه کنیم:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
مثال: محصولات زیر را بیابید-
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
حاصل جمع و تفاضل دو جمله
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
z را با y جایگزین کنید
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
بسط ها
هنگامی که یک عبارت جبری به خودی خود در قدرت دوم، سوم یا هر توان دیگری ضرب می شود، این فرآیند را بسط می گویند.
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
مثال ها:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
مثلث مربع کامل
هر سه جمله ای که بتوان آن را به صورت \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ یا } (x^2 - 2xy + y^2)\) بیان کرد به عنوان یک مثلث مربع کامل شناخته می شود.
\(x^2 + 2xy + y^2\) مربع کامل (x+y) است و \(x^2 - 2xy + y^2\) مربع کامل (x−y) است.
