आपको सीखना होगा:
- विशेष उत्पाद
- दो द्विपदों का गुणनफल
- दो पदों के योग और अंतर का गुणनफल
- विस्तार
कुछ नियमों का उपयोग करके कुछ प्रकार के बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का गुणन मानसिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है। ऐसे गुणन को विशेष गुणनफल कहा जाता है।
दो द्विपदों का गुणनफल
आइए हम \((x+y)(x+z)\) के उत्पाद खोजें
यहां \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
इसलिए, \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
उसी प्रकार, हम निम्नलिखित विशेष उत्पाद आसानी से प्राप्त कर सकते हैं:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
उदाहरण: निम्नलिखित उत्पाद खोजें-
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
दो पदों के योग और अंतर का गुणनफल
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
z को y से बदलें
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
विस्तार
जब किसी बीजगणितीय व्यंजक को उसके दूसरे, तीसरे या किसी अन्य घात से गुणा किया जाता है तो इस प्रक्रिया को विस्तार कहा जाता है।
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
उदाहरण:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
पूर्ण वर्ग त्रिपद
कोई भी त्रिपद जिसे \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ या } (x^2 - 2xy + y^2)\) व्यक्त किया जा सकता है, एक पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में जाना जाता है।
\(x^2 + 2xy + y^2\) (x+y) का एक पूर्ण वर्ग है और \(x^2 - 2xy + y^2\) (x−y) का पूर्ण वर्ग है।
