Imparerai:
- Prodotti speciali
- Prodotto di due binomi
- Prodotto di somma e differenza di due termini
- Espansioni
La moltiplicazione di alcuni tipi di espressioni algebriche può essere ottenuta mentalmente utilizzando alcune regole. Tali moltiplicazioni sono definite prodotti speciali .
Prodotti di due binomi
Troviamo i prodotti di \((x+y)(x+z)\) ,
Qui \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
Quindi, \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
Allo stesso modo possiamo facilmente ottenere i seguenti prodotti speciali:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
Esempi: trova i seguenti prodotti-
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
Prodotto di somma e differenza di due termini
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
sostituire z con y
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
Espansioni
Quando un'espressione algebrica viene moltiplicata per se stessa alla sua seconda, terza o qualsiasi altra potenza, il processo viene chiamato espansione.
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
Esempi:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
Trinomio quadrato perfetto
Qualsiasi trinomio che può essere espresso come \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ O } (x^2 - 2xy + y^2)\) è noto come trinomio quadrato perfetto .
\(x^2 + 2xy + y^2\) è un quadrato perfetto di (x+y) e \(x^2 - 2xy + y^2\) è un quadrato perfetto di (x−y).
