次のことを学びます:
- 特産品
- 2 つの二項式の積
- 2 つの項の和と差の積
- 拡張
特定のタイプの代数式の乗算は、いくつかのルールを使用することで暗算で求めることができます。このような乗算は特殊積と呼ばれます。
2 つの二項式の積
\((x+y)(x+z)\)の積を求めてみましょう。
ここで\((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
したがって、 \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
同様に、以下の特産品も簡単に入手できます。
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
例: 次の製品を検索します。
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
2 つの項の和と差の積
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
z を y に置き換えます
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
拡張
代数式がそれ自身の 2 乗、3 乗、またはその他の乗算されるとき、そのプロセスは展開と呼ばれます。
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
例:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
完全平方三項式
\( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ または } (x^2 - 2xy + y^2)\)表現できる三項式は、完全二乗三項式として知られています。
\(x^2 + 2xy + y^2\) (x+y) の完全二乗であり、 \(x^2 - 2xy + y^2\) (x−y) の完全二乗です。
