Nauczysz się:
- Produkty specjalne
- Iloczyn dwóch dwumianów
- Iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrazów
- Rozszerzenia
Mnożenie niektórych typów wyrażeń algebraicznych można uzyskać mentalnie, stosując pewne zasady. Takie multiplikacje nazywane są produktami specjalnymi .
Iloczyny dwóch dwumianów
Znajdźmy iloczyny \((x+y)(x+z)\) ,
Tutaj \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
Zatem \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
W ten sam sposób możemy łatwo pozyskać następujące produkty specjalne:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
Przykłady: Znajdź następujące produkty-
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
Iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrazów
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
zamień z na y
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
Rozszerzenia
Kiedy wyrażenie algebraiczne jest mnożone przez samo siebie do drugiej, trzeciej lub dowolnej innej potęgi, wówczas proces ten nazywa się rozszerzaniem.
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
Przykłady:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
Idealny trójmian kwadratowy
Każdy trójmian, który można wyrazić jako \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ Lub } (x^2 - 2xy + y^2)\) jest znany jako doskonały trójmian kwadratowy .
\(x^2 + 2xy + y^2\) jest idealnym kwadratem (x+y), a \(x^2 - 2xy + y^2\) jest idealnym kwadratem (x-y).
