Ты выучишь:
- Специальные продукты
- Произведение двух биномов
- Произведение суммы и разницы двух слагаемых
- Расширения
Умножение некоторых видов алгебраических выражений можно получить мысленно, используя некоторые правила. Такие умножения называются специальными произведениями .
Произведения двух биномов
Найдем произведения \((x+y)(x+z)\) ,
Здесь \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
Следовательно, \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
Таким же образом мы можем легко получить следующие специальные продукты:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
Примеры: Найдите следующие продукты:
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
Произведение суммы и разницы двух слагаемых
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
заменить z на y
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
Расширения
Когда алгебраическое выражение умножается само на себя во вторую, третью или любую другую степень, этот процесс называется расширением.
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
Примеры:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
Совершенный квадратный трехчлен
Любой трехчлен, который можно выразить как \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ или } (x^2 - 2xy + y^2)\) называется идеальным квадратным трехчленом.
\(x^2 + 2xy + y^2\) — полный квадрат (x+y), а \(x^2 - 2xy + y^2\) — полный квадрат (x−y).
