Bạn sẽ học:
- Sản phẩm đặc biệt
- Tích của hai nhị thức
- Tích của Tổng và Hiệu của hai số hạng
- Mở rộng
Phép nhân của một số loại biểu thức đại số nhất định có thể được tính nhẩm bằng cách sử dụng một số quy tắc. Những phép nhân như vậy được gọi là tích đặc biệt .
Tích của hai nhị thức
Hãy tìm tích của \((x+y)(x+z)\) ,
Ở đây \((x + y)(x + z) = x(x + z)+y(x + z) = x^2 + xz + yx + yz\)
\(x^2 +x(y + z) + yz\)
Do đó, \((x + y)(x + z) = x^2 +(y+ z)x + yz\)
Theo cách tương tự, chúng ta có thể dễ dàng thu được các sản phẩm đặc biệt sau:
\((x + y)(x - z) = x^2 +(y - z)x - yz\)
\((x - y)(x + z) = x^2 +(z - y)x - yz\)
\((x - y)(x - z) = x^2 - (y+z)x + yz\)
Ví dụ: Tìm các sản phẩm sau-
- \((2a+3)(2a+4) = (2a)^2 + (3+4)(2a) + (3)(4) = 4a^2 + 14a + 12\)
- \((2m - p^2)(2m + q^2) = (2m)^2 + (q^2 - p^2)(2m) - (q^2)(p^2) = 4m^2 + 2m(q^2 - p^2) - q^2p^2\)
Tích của Tổng và Hiệu của hai số hạng
\((x + y)(x - z) = x^2 + (y - z)x -yz\)
thay z bằng y
\(⇒ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)
Mở rộng
Khi một biểu thức đại số được nhân với chính nó với lũy thừa thứ hai, thứ ba hoặc bất kỳ lũy thừa nào khác thì quá trình này được gọi là khai triển.
\((x +y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\((x + y+ z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)\)
\((x + y)^3 = x^3+y^3+ 3xy(x+y) \)
\((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)
Ví dụ:
\((\sqrt2 + x)^2 = (\sqrt2)^2 + 2 \cdot \sqrt2.x + x^2 \\ 2+2\sqrt2x+x^2\)
\((104)^2 = (100+4)^2 = (100)^2 + 2⋅ 4 ⋅100+ 42 = 10000 + 800 + 16 =10816 \)
Tam thức vuông hoàn hảo
Bất kỳ tam thức nào có thể biểu diễn dưới dạng \( (x^2 + 2xy + y^2) \textrm{ hoặc } (x^2 - 2xy + y^2)\) đều được gọi là tam thức chính phương .
\(x^2 + 2xy + y^2\) là số chính phương của (x+y) và \(x^2 - 2xy + y^2\) là số chính phương của (x−y).
