Back to the topics list

العوامل الجبرية

يمكن التعبير عن أي رقم في شكل عوامله ، على سبيل المثال ، 12 = 4 × 3. وبالمثل ، يمكن أيضًا التعبير عن التعبير الجبري في شكل عوامله. لنأخذ مثالاً ، 4x ² + 12xy. هذه المعادلة لها حدين 4x ² و 12xy.

يمكننا التعبير

4x ² مثل 4 ⋅ x ⋅ x و

12xy بالشكل 12 ⋅ x ⋅ y أو 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

لاحظ أن 4x هو عامل مشترك في كلا المصطلحين ، لذلك يمكننا أيضًا كتابة التعبير كـ \(4x(x + 3y)\) . انشر \(4x(x + 3y)\) وستحصل على نفس التعبير. لقد قمنا للتو بتحويل أول تعبير جبري إلى عوامل!

يمكن أحيانًا تمثيل التعبير الجبري في شكل حاصل ضرب اثنين أو أكثر من التعبيرات الجبرية . كل تعبير جبري في المنتج يسمى عامل من التعبيرات المعطاة. على سبيل المثال ، 4x و x + 3y عاملان للتعبير 4x ² + 12xy. يسمى إيجاد عوامل لتعبير معين التحليل الجبري.

دعونا نتعلم كيفية التحليل في الحالات المختلفة:

عندما يكون للتعبير عامل أحادي كعامل مشترك لجميع مصطلحاته

تحديد أكبر مونوميل وهو عامل لكل مصطلح من التعبير.

مثال :

1. حلل 3x ² y + 9xy ² + 12xyz إلى عوامل
3xy هو أكبر جزء واحد مشترك للمصطلحات الثلاثة 3x ² y و 9 xy ² و 12 xyz
لذلك ، يمكن التعبير عن هذا المصطلح كـ

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. حلل x ³ y ² z + x ² y + 2xy ² إلى عوامل
xy هو أكبر جزء واحد مشترك بين الحدود الثلاثة x ³ y ² z، x ² y، 2xy ²
لذلك \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

عندما يكون للتعبير عامل مركب مشترك بين جميع حدوده

مثال : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

لذلك ، يمكن كتابتها كـ

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

التخصيم بالتجميع

الخطوة 1: رتب مصطلحات التعبير المعطى في مجموعات بحيث يكون لكل المجموعات عامل مشترك.

الخطوة 2: حلل كل مجموعة إلى عوامل.

الخطوة 3: استخرج العامل المشترك بين كل مجموعة.

مثال :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

عندما يتناسب التعبير مع صيغة جبرية

حاول استخدام صيغة جبرية لتحليل تعبير جبري إلى عوامل.

مثال :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   باستخدام الصيغة x ² −y ² = (x + y) ⋅ (x − y) ، يمكن كتابة 49-4b ² بالشكل (7 + 2b) ⋅ (7−2b) أي 7 ² - (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   باستخدام الصيغة (x + y) ² = x ² + 2xy + y ² يمكننا استبدال 16x ² + 16x + 4 كـ (4x + 2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

تحليل العوملة من الدرجة الثانية الثلاثية

هل يمكن تحليل كثير الحدود من الدرجة الثانية أو من الدرجة الثانية إلى عوامل؟ الجواب نعم"
يتم التعبير عن كثير الحدود التربيعي بالفأس ²   + bx + c ، حيث لا تساوي a و b و c صفرًا.

دعونا نناقش حالتين

1. أ = 1
2. \(a \neq 1\)

الحالة 1 : إذا كان a = 1
دعنا نمثل \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) ، حيث l و m عدد صحيح.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

لتحليل تعبير من النوع ax ²   + bx + c ، ابحث عن عددين صحيحين l و m بحيث يكون مجموعهما b وحاصل ضرب c.

مثال: x ² + 6x + 8

أوجد عددين صحيحين l و m مجموعهما 6 وحاصل ضربهما 8.

بما أن 4 + 2 = 6 و 4 × 2 = 8 ، لذلك

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 أو x⋅ (x + 4) + 2⋅ (x + 4)

= (س + 4) (س + 2)

الحالة 2 : إذا \(a \neq 1\) في   الفأس ²   + ب س + ج

العثور على عددين صحيحين l و m مثل ذلك

l × m = ac و l + m = ب

مثال : 3 × ² - 10 × + 8
أوجد عددين صحيحين مثل l × m = 24 و l + m = −10

عددان صحيحان يستوفيان هذين المعيارين هما −6 و −4: −6 × −4 = 24 و \( −6 + (−4) = −10\)

لذلك ، 3x ² - 10x + 8 = 3x 2-6x - 4x ⁺ 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)