Back to the topics list

বীজগণিতিক কারণ

যেকোনো সংখ্যাকে তার গুণনীয়ক আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 12 = 4 × 3। একইভাবে, একটি বীজগণিতিক রাশিও তার গুণনীয়ক আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি উদাহরণ নেওয়া যাক, 4x ² + 12xy। এই সমীকরণের দুটি পদ আছে 4x ² এবং 12xy।

আমরা প্রকাশ করতে পারি

4x ² হিসাবে 4 ⋅ x ⋅ x এবং

12xy হিসাবে 12 ⋅ x ⋅ y বা 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y।

লক্ষ্য করুন যে উভয় পদে 4x একটি সাধারণ গুণনীয়ক, তাই আমরা রাশিটিকে \(4x(x + 3y)\) হিসাবেও লিখতে পারি। প্রসারিত করুন \(4x(x + 3y)\) এবং আপনি একই অভিব্যক্তি ফিরে পাবেন। আমরা আমাদের প্রথম বীজগাণিতিক অভিব্যক্তিকে ফ্যাক্টরাইজ করেছি!

একটি বীজগণিতিক রাশি কখনও কখনও দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির গুণফলের আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে। গুণফলের প্রতিটি বীজগাণিতিক রাশিকে প্রদত্ত রাশির কারক বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 4x এবং x + 3y হল 4x ² + 12xy রাশির গুণক। একটি প্রদত্ত রাশির গুণনীয়ক খুঁজে পাওয়াকে বীজগণিতীয় ফ্যাক্টরাইজেশন বলে।

আসুন জেনে নিই কিভাবে বিভিন্ন ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরাইজ করা যায়:

যখন একটি অভিব্যক্তির সমস্ত পদের একটি সাধারণ গুণনীয়ক হিসাবে একটি মনোমিয়াল থাকে

রাশির প্রতিটি পদের একটি ফ্যাক্টর সবচেয়ে বড় একপদ শনাক্ত করুন।

উদাহরণ :

1. 3x ² y + 9xy ² + 12xyz ফ্যাক্টরাইজ করুন
3xy 3x ² y, 9xy ² এবং 12xyz তিনটি পদের জন্য সবচেয়ে বড় একপদ সাধারণ
অতএব, এই শব্দ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. x ³ y ² z + x ² y + 2xy ² ফ্যাক্টরাইজ করুন
x ³ y ² z, x ² y, 2xy ² তিনটি পদের জন্য xy হল বৃহত্তম একপদার্থ সাধারণ
অতএব, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

যখন একটি রাশির একটি যৌগিক ফ্যাক্টর থাকে তার সমস্ত পদের সাথে

উদাহরণ : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

অতএব, এটি হিসাবে লেখা যেতে পারে

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

গ্রুপিং দ্বারা ফ্যাক্টরিং

ধাপ 1: প্রদত্ত অভিব্যক্তির পদগুলিকে গোষ্ঠীতে এমনভাবে সাজান যাতে সমস্ত গোষ্ঠীর একটি কমন ফ্যাক্টর থাকে।

ধাপ 2: প্রতিটি গ্রুপ ফ্যাক্টরাইজ করুন।

ধাপ 3: ফ্যাক্টরটি বের করুন যা প্রতিটি গ্রুপে সাধারণ।

উদাহরণ :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

যখন একটি রাশি একটি বীজগণিত সূত্রে ফিট করে

একটি বীজগণিতীয় রাশিকে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য একটি বীজগণিতীয় সূত্র ব্যবহার করার চেষ্টা করুন।

উদাহরণ :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² ব্যবহার করে (7+2b)⋅(7−2b) অর্থাৎ 7 ² − (2b) ² হিসাবে লেখা যেতে পারে
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   সূত্র (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² ব্যবহার করে আমরা 16x ² +16x+4 কে (4x+2) ² হিসাবে প্রতিস্থাপন করতে পারি
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

একটি সেকেন্ডের ফ্যাক্টরাইজেশন - ডিগ্রী ট্রিনোমিয়াল

একটি দ্বিতীয়-ডিগ্রী বা একটি দ্বিঘাত বহুপদী ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে? উত্তরটি হল হ্যাঁ"
একটি দ্বিঘাত বহুপদীকে ax ² হিসাবে প্রকাশ করা হয়   + bx + c , যেখানে a, b এবং c শূন্যের সমান নয়।

আসুন দুটি ক্ষেত্রে আলোচনা করা যাক

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

কেস 1 : যদি a = 1 হয়
আসুন প্রতিনিধিত্ব করি \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , যেখানে l এবং m পূর্ণসংখ্যা।

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

টাইপ ax ² এর একটি এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টরাইজ করতে   + bx + c, দুটি পূর্ণসংখ্যা l এবং m দেখুন যাতে তাদের যোগফল b এবং গুণফল হয় c।

উদাহরণ: x ² + 6x + 8

দুটি পূর্ণসংখ্যা l এবং m বের কর যার যোগফল 6 এবং গুণফল 8।

4 + 2 = 6 এবং 4 × 2 = 8 হিসাবে, তাই

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 বা x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

কেস 2 : যদি \(a \neq 1\) in   কুঠার ²   + bx + গ

দুটি পূর্ণসংখ্যা l এবং m খুঁজে বের করুন যেরকম

l × m = ac এবং l + m = b

উদাহরণ : 3x ² − 10x + 8
দুটি পূর্ণসংখ্যা খুঁজুন যেমন l × m = 24 এবং l + m = −10

এই দুটি মানদণ্ড পূরণকারী দুটি পূর্ণসংখ্যা হল −6, −4: −6 × −4 = 24 এবং \( −6 + (−4) = −10\)

অতএব, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)