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algebraische faktorisierung

Jede Zahl kann in Form ihrer Faktoren ausgedrückt werden, zum Beispiel 12 = 4 × 3. Ebenso kann ein algebraischer Ausdruck auch in Form seiner Faktoren ausgedrückt werden. Nehmen wir ein Beispiel: 4x ² + 12xy. Diese Gleichung hat zwei Terme 4x ² und 12xy.

Wir können uns ausdrücken

4x ² als 4 ⋅ x ⋅ x und

12xy als 12 ⋅ x ⋅ y oder 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Beachten Sie, dass 4x in beiden Termen ein gemeinsamer Faktor ist, daher können wir den Ausdruck auch als \(4x(x + 3y)\) schreiben. Erweitern Sie \(4x(x + 3y)\) und Sie erhalten den gleichen Ausdruck zurück. Wir haben gerade unseren ersten algebraischen Ausdruck faktorisiert!

Ein algebraischer Ausdruck kann manchmal in Form eines Produkts aus zwei oder mehr algebraischen Ausdrücken dargestellt werden. Jeder algebraische Ausdruck im Produkt wird als Faktor der gegebenen Ausdrücke bezeichnet. Beispielsweise sind 4x und x + 3y Faktoren des Ausdrucks 4x ² + 12xy. Das Finden von Faktoren eines bestimmten Ausdrucks wird als algebraische Faktorisierung bezeichnet.

Lassen Sie uns lernen, wie man in verschiedenen Fällen faktorisiert:

Wenn ein Ausdruck ein Monom als gemeinsamen Faktor aller seiner Terme hat

Identifizieren Sie das größte Monom, das ein Faktor jedes Termes des Ausdrucks ist.

Beispiel :

1. Faktorisieren Sie 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy ist das größte gemeinsame Monom der drei Terme 3x ² y, 9xy ² und 12xyz
Daher kann dieser Begriff ausgedrückt werden als:

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Faktorisieren Sie x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy ist das größte gemeinsame Monom der drei Terme x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Daher \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Wenn ein Ausdruck einen zusammengesetzten Faktor hat, der allen seinen Termen gemeinsam ist

Beispiel : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Daher kann es geschrieben werden als

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Faktorisierung durch Gruppierung

Schritt 1: Ordnen Sie die Terme des gegebenen Ausdrucks in Gruppen so an, dass alle Gruppen einen gemeinsamen Faktor haben.

Schritt 2: Faktorisieren Sie jede Gruppe.

Schritt 3: Nehmen Sie den Faktor heraus, der jeder Gruppe gemeinsam ist.

Beispiel :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Wenn ein Ausdruck in eine algebraische Formel passt

Versuchen Sie, eine algebraische Formel zu verwenden, um einen algebraischen Ausdruck zu faktorisieren.

Beispiel :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Mit der Formel x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y) kann 49 − 4b ² als (7+2b)⋅(7−2b) geschrieben werden, also 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Mit der Formel (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² können wir 16x ² +16x+4 durch (4x+2) ² ersetzen
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Faktorisierung eines Trinoms zweiten Grades

Kann ein Polynom zweiten Grades oder ein quadratisches Polynom faktorisiert werden? Die Antwort ist ja"
Ein quadratisches Polynom wird als ax ² ausgedrückt   + bx + c , wobei a, b und c ungleich Null sind.

Lassen Sie uns zwei Fälle besprechen

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Fall 1 : Wenn a = 1
sei \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , wobei l und m ganze Zahlen sind.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

So faktorisieren Sie einen Ausdruck vom Typ ax ²   + bx + c, suchen Sie nach zwei ganzen Zahlen l und m, deren Summe b und das Produkt c ist.

Beispiel: x ² + 6x + 8

Finden Sie zwei ganze Zahlen l und m, deren Summe 6 und deren Produkt 8 ist.

Da 4 + 2 = 6 und 4 × 2 = 8, daher

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 oder x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Fall 2 : Wenn \(a \neq 1\) in   Axt ²   + bx + c

Finden Sie zwei ganze Zahlen l und m, so dass

l × m = ac und l + m = b

Beispiel : 3x ² − 10x + 8
Finden Sie zwei ganze Zahlen mit l × m = 24 und l + m = −10

Zwei ganze Zahlen, die diese beiden Kriterien erfüllen, sind −6, −4: −6 × −4 = 24 und \( −6 + (−4) = −10\)

Daher ist 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)