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factorización algebraica

Cualquier número puede expresarse en forma de sus factores, por ejemplo, 12 = 4 × 3. De manera similar, una expresión algebraica también puede expresarse en forma de sus factores. Tomemos un ejemplo, 4x ² + 12xy. Esta ecuación tiene dos términos 4x ² y 12xy.

podemos expresar

4x ² como 4 ⋅ x ⋅ x y

12xy como 12 ⋅ x ⋅ y o 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Note que en ambos términos 4x es un factor común, por lo tanto, también podemos escribir la expresión como \(4x(x + 3y)\) . Expande \(4x(x + 3y)\) y obtendrás la misma expresión. ¡Acabamos de factorizar nuestra primera expresión algebraica!

Una expresión algebraica a veces puede representarse como un producto de dos o más expresiones algebraicas . Cada expresión algebraica en el producto se llama factor de las expresiones dadas. Por ejemplo, 4x y x + 3y son factores de la expresión 4x ² + 12xy. Encontrar factores de una expresión dada se llama factorización algebraica.

Aprendamos a factorizar en varios casos:

Cuando una expresión tiene un Monomio como factor común de todos sus términos

Identifique el monomio más grande que es un factor de cada término de la expresión.

Ejemplo :

1. Factoriza 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy es el monomio más grande común a los tres términos 3x ² y, 9xy ² y 12xyz
Por lo tanto, este término se puede expresar como

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Factoriza x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy es el monomio más grande común a los tres términos x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Por lo tanto, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Cuando una expresión tiene un factor compuesto común a todos sus términos

Ejemplo : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Por lo tanto, se puede escribir como

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Factorización por agrupación

Paso 1: Ordena los términos de la expresión dada en grupos de tal manera que todos los grupos tengan un factor común.

Paso 2: factoriza cada grupo.

Paso 3: Saca el factor que es común a cada grupo.

Ejemplo :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Cuando una expresión cabe en una fórmula algebraica

Intenta usar una fórmula algebraica para factorizar una expresión algebraica.

Ejemplo :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Usando la fórmula x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² se puede escribir como (7+2b)⋅(7−2b) que es 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Usando la fórmula (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² podemos reemplazar 16x ² +16x+4 como (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Factorización de un trinomio de segundo grado

¿Se puede factorizar un polinomio de segundo grado o un polinomio cuadrático? La respuesta es sí"
Un polinomio cuadrático se expresa como ax ²   + bx + c , donde a, b y c no son iguales a cero.

Analicemos dos casos

1. un = 1
2. \(a \neq 1\)

Caso 1 : Si a = 1
representemos \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , donde l y m son números enteros.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Para factorizar una expresión de tipo ax ²   + bx + c, busca dos enteros l y m tales que su suma sea b y el producto sea c.

Ejemplo: x ² + 6x + 8

encontrar dos enteros l y m cuya suma sea 6 y el producto sea 8.

Como 4 + 2 = 6 y 4 × 2 = 8, por lo tanto

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

^x2 + 4x + 2x + 8 o x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Caso 2 : Si \(a \neq 1\) en   hacha ²   + bx + c

encontrar dos enteros l y m tales que

l × m = ac y l + m = segundo

Ejemplo : 3x ² − 10x + 8
Encuentra dos enteros tales que l × m = 24 y l + m = −10

Dos enteros que cumplen estos dos criterios son −6, −4: −6 × −4 = 24 y \( −6 + (−4) = −10\)

Por lo tanto, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)