Back to the topics list

خصوصیات جبری

هر عددی را می توان در قالب فاکتورهای آن بیان کرد، مثلاً 12 = 4 × 3. به همین ترتیب، یک عبارت جبری نیز می تواند در قالب عوامل آن بیان شود. اجازه دهید مثالی بزنیم، ^4x2 + 12xy. این معادله دارای دو جمله ^4x2 و 12xy است.

می توانیم بیان کنیم

4x ² به عنوان 4 ⋅ x ⋅ x و

12xy به عنوان 12 ⋅ x ⋅ y یا 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

توجه داشته باشید که در هر دو عبارت 4x یک عامل مشترک است، بنابراین، می توانیم عبارت را به صورت \(4x(x + 3y)\) نیز بنویسیم. \(4x(x + 3y)\) گسترش دهید و همان عبارت را دریافت خواهید کرد. ما فقط اولین عبارت جبری خود را فاکتور گرفتیم!

یک عبارت جبری گاهی اوقات می تواند به شکل حاصلضرب دو یا چند عبارت جبری نشان داده شود. هر عبارت جبری در حاصل ضرب، عاملی از عبارات داده شده نامیده می شود. به عنوان مثال، 4x و x + 3y عوامل بیان 4x ² + 12xy هستند. به یافتن عوامل یک عبارت معین، فاکتورسازی جبری می گویند.

بیایید یاد بگیریم که چگونه در موارد مختلف فاکتورسازی کنیم:

زمانی که یک عبارت دارای یک تک نام به عنوان عامل مشترک همه اصطلاحات آن باشد

بزرگترین تک جمله ای را که ضریب هر عبارت عبارت است را مشخص کنید.

مثال :

1. 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz را فاکتوریزه کنید
3xy بزرگترین تک جمله مشترک در سه عبارت 3x ² y، 9xy ² و 12xyz است.
بنابراین، این اصطلاح را می توان به صورت بیان کرد

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. x ³ y ² z + x ² y + 2xy ² را فاکتوریزه کنید
xy بزرگترین تک جمله مشترک با سه عبارت x ³ y ² z، x ² y، 2xy ² است.
بنابراین \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

وقتی یک عبارت دارای یک عامل مرکب مشترک با تمام اصطلاحات آن باشد

مثال : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

بنابراین، می توان آن را به صورت

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

فاکتورسازی بر اساس گروه بندی

مرحله اول: اصطلاحات عبارت داده شده را در گروه ها به گونه ای مرتب کنید که همه گروه ها یک عامل مشترک داشته باشند.

مرحله 2: هر گروه را فاکتورسازی کنید.

مرحله 3: فاکتوری را که برای هر گروه مشترک است بردارید.

مثال :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

وقتی یک عبارت در یک فرمول جبری قرار می گیرد

سعی کنید از یک فرمول جبری برای فاکتورسازی یک عبارت جبری استفاده کنید.

مثال :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   با استفاده از فرمول x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y)، 49 − 4b ² را می توان به صورت (7+2b)⋅(7−2b) یعنی 7 ² − (2b) ² نوشت.
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   با استفاده از فرمول (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² می توانیم 16x ² +16x+4 را به عنوان (4x+2) ² جایگزین کنیم.
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

فاکتورسازی یک سه جمله ای درجه دوم

آیا می توان چند جمله ای درجه دوم یا درجه دوم را فاکتور گرفت؟ پاسخ بله است"
یک چند جمله ای درجه دوم به صورت محور ² بیان می شود   + bx + c، که در آن a، b و c برابر با صفر نیستند.

بیایید دو مورد را مورد بحث قرار دهیم

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

مورد 1 : اگر a = 1
اجازه دهید \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) دهیم که l و m اعداد صحیح هستند.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

برای فاکتورسازی یک عبارت از نوع ax ²   + bx + c، به دنبال دو عدد صحیح l و m بگردید که مجموع آنها b و حاصلضرب c باشد.

مثال: x ² + 6x + 8

دو عدد صحیح l و m را پیدا کنید که مجموع آنها 6 و حاصلضرب 8 باشد.

به عنوان 4 + 2 = 6 و 4 × 2 = 8، از این رو

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 یا x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

مورد 2 : اگر \(a \neq 1\) در   تبر ²   + bx + c

دو عدد صحیح l و m را پیدا کنید که

l × m = ac و l + m = b

مثال : 3x ² − 10x + 8
دو عدد صحیح پیدا کنید به طوری که l × m = 24 و l + m = -10

دو عدد صحیح که این دو معیار را برآورده می کنند عبارتند از −6، −4: −6 × −4 = 24 و \( −6 + (−4) = −10\)

بنابراین، 3x ² - 10x + 8 = 3x ² - 6x - 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)