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factorisation algébrique

Tout nombre peut être exprimé sous la forme de ses facteurs, par exemple, 12 = 4 × 3. De même, une expression algébrique peut également être exprimée sous la forme de ses facteurs. Prenons un exemple, 4x ² + 12xy. Cette équation a deux termes 4x ² et 12xy.

Nous pouvons exprimer

4x ² comme 4 ⋅ x ⋅ x et

12xy comme 12 ⋅ x ⋅ y ou 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Notez que dans les deux termes, 4x est un facteur commun, par conséquent, nous pouvons également écrire l'expression sous la forme \(4x(x + 3y)\) . Développez \(4x(x + 3y)\) et vous obtiendrez la même expression. Nous venons de factoriser notre première expression algébrique !

Une expression algébrique peut parfois être représentée sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions algébriques . Chaque expression algébrique du produit est appelée un facteur des expressions données. Par exemple, 4x et x + 3y sont des facteurs d'expression 4x ² + 12xy. Trouver les facteurs d'une expression donnée s'appelle la factorisation algébrique.

Apprenons à factoriser dans différents cas :

Lorsqu'une expression a un monôme comme diviseur commun à tous ses termes

Identifiez le plus grand monôme qui est un diviseur de chaque terme de l'expression.

Exemple :

1. Factoriser 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy est le plus grand monôme commun aux trois termes 3x ² y, 9xy ² et 12xyz
Par conséquent, ce terme peut être exprimé comme

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Factoriser x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy est le plus grand monôme commun aux trois termes x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Donc, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Lorsqu'une expression a un facteur composé commun à tous ses termes

Exemple : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Par conséquent, il peut être écrit comme

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Factorisation par regroupement

Étape 1 : Organisez les termes de l'expression donnée en groupes de telle sorte que tous les groupes aient un facteur commun.

Étape 2 : Factorisez chaque groupe.

Étape 3 : Retirez le facteur qui est commun à chaque groupe.

Exemple :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Lorsqu'une expression rentre dans une formule algébrique

Essayez d'utiliser une formule algébrique pour factoriser une expression algébrique.

Exemple :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   En utilisant la formule x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² peut être écrit comme (7+2b)⋅(7−2b) soit 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   En utilisant la formule (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² nous pouvons remplacer 16x ² +16x+4 par (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Factorisation d'un trinôme du second degré

Peut-on factoriser un polynôme du second degré ou un polynôme quadratique ? La réponse est oui"
Un polynôme quadratique s'exprime par ax ²   + bx + c , où a, b et c ne sont pas égaux à zéro.

Discutons de deux cas

1. un = 1
2. \(a \neq 1\)

Cas 1 : Si a = 1
représentons \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , où l et m sont des entiers.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Pour factoriser une expression de type ax ²   + bx + c, chercher deux entiers l et m tels que leur somme soit b et leur produit soit c.

Exemple : x ² + 6x + 8

trouver deux entiers l et m dont la somme est 6 et le produit est 8.

Comme 4 + 2 = 6 et 4 × 2 = 8, donc

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 ou x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Cas 2 : Si \(a \neq 1\) dans   hache ²   + bx + c

trouver deux entiers l et m tels que

l × m = ac et l + m = b

Exemple : 3x ² − 10x + 8
Trouver deux entiers tels que l × m = 24 et l + m = −10

Deux entiers remplissant ces deux critères sont −6, −4 : −6 × −4 = 24 et \( −6 + (−4) = −10\)

Donc, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)