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बीजगणितीय कारक

किसी भी संख्या को उसके गुणनखंडों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 12 = 4 × 3. इसी प्रकार, एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति को उसके गुणनखंडों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण लें, 4x ² + 12xy। इस समीकरण में दो पद 4x ² और 12xy हैं।

हम व्यक्त कर सकते हैं

4x ^{2 को} 4 ⋅ x ⋅ x और के रूप में

12xy को 12 ⋅ x ⋅ y या 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y के रूप में।

ध्यान दें कि दोनों पदों में 4x एक सामान्य गुणनखंड है, इसलिए, हम अभिव्यक्ति को \(4x(x + 3y)\) के रूप में भी लिख सकते हैं। \(4x(x + 3y)\) विस्तार करें और आपको वही अभिव्यक्ति वापस मिलेगी। हमने अभी-अभी अपनी पहली बीजगणितीय अभिव्यक्ति का गुणनखंड किया है!

एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति को कभी-कभी दो या दो से अधिक बीजीय अभिव्यक्तियों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। गुणनफल में प्रत्येक बीजीय व्यंजक को दिए गए व्यंजकों का गुणनखंड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 4x और x + 3y अभिव्यक्ति 4x ² + 12xy के गुणनखंड हैं। किसी दिए गए व्यंजक के गुणनखंड ज्ञात करना बीजगणितीय गुणनखंडन कहलाता है।

आइए जानें कि विभिन्न मामलों के अंतर्गत गुणनखंडन कैसे करें:

जब किसी अभिव्यक्ति में उसके सभी पदों का एक सामान्य गुणनखंड एकपदी होता है

सबसे बड़े एकपदी को पहचानें जो अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद का एक गुणनखंड है।

उदाहरण :

1. 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz का गुणनखंड करें
3xy तीन पदों 3x ² y, 9xy ² और 12xyz का सबसे बड़ा एकपद उभयनिष्ठ है
इसलिए, इस शब्द को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. x ³ y ² z + x ² y + 2xy ² का गुणनखंड करें
xy तीन पदों x ³ y ² z, x ² y, 2xy ² का सबसे बड़ा एकपद उभयनिष्ठ है
इसलिए, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

जब किसी अभिव्यक्ति में उसके सभी पदों के लिए एक यौगिक गुणनखंड उभयनिष्ठ हो

उदाहरण : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

अत: इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

समूहन द्वारा फैक्टरिंग

चरण 1: दिए गए व्यंजक के पदों को समूहों में इस प्रकार व्यवस्थित करें कि सभी समूहों में एक सामान्य गुणनखंड हो।

चरण 2: प्रत्येक समूह का गुणनखंड करें।

चरण 3: वह कारक निकालें जो प्रत्येक समूह में समान हो।

उदाहरण :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

जब कोई व्यंजक बीजगणितीय सूत्र में फिट बैठता है

किसी बीजगणितीय व्यंजक को गुणनखंडित करने के लिए बीजगणितीय सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें।

उदाहरण :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   सूत्र x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y) का उपयोग करके, 49 − 4b ^{2 को} (7+2b)⋅(7−2b) के रूप में लिखा जा सकता है अर्थात 7 ² ​​− (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   सूत्र (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² का उपयोग करके हम 16x ² +16x+4 को (4x+2) ² से बदल सकते हैं
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

एक द्वितीय - डिग्री त्रिपद का गुणनखंडन

क्या द्वितीय-डिग्री या द्विघात बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है? उत्तर है, हाँ"
एक द्विघात बहुपद को ax ² के रूप में व्यक्त किया जाता है   + bx + c , जहां a, b और c शून्य के बराबर नहीं हैं।

आइए दो मामलों पर चर्चा करें

1. ए = 1
2. \(a \neq 1\)

केस 1 : यदि ए = 1
आइए प्रतिनिधित्व करें \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , जहां l और m पूर्णांक हैं।

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

प्रकार ax ² के व्यंजक को गुणनखंडित करने के लिए   + bx + c, दो पूर्णांक l और m इस प्रकार खोजें कि उनका योग b हो और गुणनफल c हो।

उदाहरण: x ² + 6x + 8

दो पूर्णांक l और m ज्ञात कीजिए जिनका योग 6 है और गुणनफल 8 है।

चूँकि 4 + 2 = 6 और 4 × 2 = 8, इसलिए

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 या x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

केस 2 : यदि \(a \neq 1\) में   कुल्हाड़ी ²   + बीएक्स + सी

ऐसे दो पूर्णांक l और m ज्ञात कीजिए

एल × एम = एसी और एल + एम = बी

उदाहरण : 3x ² − 10x + 8
ऐसे दो पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनमें l × m = 24 और l + m = −10 हो

इन दो मानदंडों को पूरा करने वाले दो पूर्णांक −6, −4 हैं: −6 × −4 = 24 और \( −6 + (−4) = −10\)

इसलिए, 3x ² - 10x + 8 = 3x ² - 6x - 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)