Back to the topics list

algebarska faktorizacija

Bilo koji broj može se izraziti u obliku svojih faktora, na primjer, 12 = 4 × 3. Slično, algebarski izraz se također može izraziti u obliku svojih faktora. Uzmimo primjer, 4x ² + 12xy. Ova jednadžba ima dva člana 4x ² i 12xy.

Možemo izraziti

4x ² kao 4 ⋅ x ⋅ x i

12xy kao 12 ⋅ x ⋅ y ili 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Primijetite da je u oba izraza 4x zajednički faktor, stoga izraz možemo napisati i kao \(4x(x + 3y)\) . Proširite \(4x(x + 3y)\) i dobit ćete natrag isti izraz. Upravo smo faktorizirali naš prvi algebarski izraz!

Algebarski izraz se ponekad može prikazati u obliku produkta dva ili više algebarskih izraza . Svaki algebarski izraz u umnošku nazivamo faktorom zadanih izraza. Na primjer, 4x i x + 3y su faktori izraza 4x ² + 12xy. Pronalaženje faktora zadanog izraza naziva se algebarska faktorizacija.

Naučimo kako faktorizirati različite slučajeve:

Kada izraz ima monom kao zajednički faktor svih njegovih članova

Odredite najveći monom koji je faktor svakog člana izraza.

Primjer :

1. Faktoriziraj 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy je najveći monom zajednički za tri člana 3x ² y, 9xy ² i 12xyz
Stoga se ovaj pojam može izraziti kao

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Faktoriziraj x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy je najveći monom zajednički za tri člana x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Prema tome, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Kada izraz ima složeni faktor zajednički svim njegovim članovima

Primjer : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Stoga se može napisati kao

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Faktoring grupiranjem

Korak 1: Rasporedite članove zadanog izraza u skupine na način da sve skupine imaju zajednički faktor.

Korak 2: Faktorizirajte svaku grupu.

Korak 3: Izbacite faktor koji je zajednički svakoj grupi.

Primjer :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Kada izraz stane u algebarsku formulu

Pokušajte upotrijebiti algebarsku formulu za faktorizaciju algebarskog izraza.

Primjer :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Koristeći formulu x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² se može napisati kao (7+2b)⋅(7−2b) što je 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Koristeći formulu (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² možemo zamijeniti 16x ² +16x+4 kao (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Faktorizacija trinoma drugog stupnja

Može li se faktorizirati polinom drugog stupnja ili kvadratni polinom? odgovor je "da"
Kvadratni polinom se izražava kao ax ²   + bx + c , gdje a, b i c nisu jednaki nuli.

Razmotrimo dva slučaja

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Slučaj 1 : Ako je a = 1
neka predstavlja \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , gdje su l i m cijeli brojevi.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Za faktorizaciju izraza tipa ax ²   + bx + c, potražite dva cijela broja l i m takva da je njihov zbroj b, a umnožak c.

Primjer: x ² + 6x + 8

Nađite dva cijela broja l i m čiji je zbroj 6, a umnožak 8.

Kako je 4 + 2 = 6 i 4 × 2 = 8, stoga

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 ili x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Slučaj 2 : Ako \(a \neq 1\) u   sjekira ²   + bx + c

nađite dva cijela broja l i m takva da

l × m = ac i l + m = b

Primjer : 3x ² − 10x + 8
Nađite dva cijela broja takva da je l × m = 24 i l + m = −10

Dva cijela broja koja ispunjavaju ova dva kriterija su −6, −4: −6 × −4 = 24 i \( −6 + (−4) = −10\)

Prema tome, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)