Back to the topics list

factorisation aljabar

Bilangan apa pun dapat dinyatakan dalam bentuk faktornya, misalnya 12 = 4 × 3. Demikian pula, ekspresi aljabar juga dapat dinyatakan dalam bentuk faktornya. Mari kita ambil contoh, 4x ² + 12xy. Persamaan ini memiliki dua suku 4x ² dan 12xy.

Kita bisa berekspresi

4x ² sebagai 4 ⋅ x ⋅ x dan

12xy sebagai 12 ⋅ x ⋅ y atau 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Perhatikan bahwa dalam kedua suku 4x adalah faktor persekutuan, oleh karena itu, kita juga dapat menulis ekspresinya sebagai \(4x(x + 3y)\) . Luaskan \(4x(x + 3y)\) dan Anda akan mendapatkan kembali ekspresi yang sama. Kita baru saja memfaktorkan ekspresi aljabar pertama kita!

Ekspresi aljabar terkadang dapat direpresentasikan dalam bentuk produk dari dua atau lebih ekspresi aljabar . Setiap ekspresi aljabar dalam hasil kali disebut faktor dari ekspresi yang diberikan. Misalnya, 4x dan x + 3y adalah faktor dari pernyataan 4x ² + 12xy. Menemukan faktor dari ekspresi tertentu disebut Faktorisasi Aljabar.

Mari kita belajar bagaimana memfaktorkan dalam berbagai kasus:

Ketika sebuah ekspresi memiliki Monomial sebagai faktor persekutuan dari semua sukunya

Tentukan monomial terbesar yang merupakan faktor dari setiap suku dari pernyataan tersebut.

Contoh :

1. Faktorkan 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy adalah monomial persekutuan terbesar dari tiga suku 3x ² y, 9xy ² , dan 12xyz
Oleh karena itu, istilah ini dapat dinyatakan sebagai

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Faktorkan x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy adalah monomial terbesar persekutuan dari tiga suku x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Oleh karena itu, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Ketika sebuah ekspresi memiliki faktor majemuk yang umum untuk semua istilahnya

Contoh : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Oleh karena itu, dapat ditulis sebagai

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Memfaktorkan dengan Pengelompokan

Langkah 1: Susun suku-suku dari ekspresi yang diberikan dalam kelompok sedemikian rupa sehingga semua kelompok memiliki faktor yang sama.

Langkah 2: Faktorkan setiap kelompok.

Langkah 3: Keluarkan faktor yang sama untuk setiap kelompok.

Contoh :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Ketika ekspresi cocok dengan rumus aljabar

Coba gunakan rumus aljabar untuk memfaktorkan ekspresi aljabar.

Contoh :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Dengan menggunakan rumus x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² dapat ditulis sebagai (7+2b)⋅(7−2b) yaitu 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Menggunakan rumus (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² kita dapat mengganti 16x ² +16x+4 menjadi (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Faktorisasi Trinomial Derajat Kedua

Bisakah polinomial derajat dua atau kuadrat difaktorkan? Jawabannya iya"
Polinomial kuadrat dinyatakan sebagai ax ²   + bx + c , di mana a, b dan c tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas dua kasus

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Kasus 1 : Jika a = 1
biarkan mewakili \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , di mana l dan m adalah bilangan bulat.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Untuk memfaktorkan ekspresi tipe ax ²   + bx + c, cari dua bilangan bulat l dan m sehingga jumlah keduanya adalah b dan perkaliannya adalah c.

Contoh: x ² + 6x + 8

temukan dua bilangan bulat l dan m yang jumlahnya 6 dan hasil kali 8.

Karena 4 + 2 = 6 dan 4 × 2 = 8, Karena itu

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 atau x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Kasus 2 : Jika \(a \neq 1\) di   kapak ²   + bx + c

temukan dua bilangan bulat l dan m sehingga

l × m = ac dan l + m = b

Contoh : 3x ² − 10x + 8
Temukan dua bilangan bulat sehingga l × m = 24 dan l + m = −10

Dua bilangan bulat yang memenuhi kedua kriteria ini adalah −6, −4: −6 × −4 = 24 dan \( −6 + (−4) = −10\)

Oleh karena itu, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)