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fattorizzazione algebrica

Qualsiasi numero può essere espresso nella forma dei suoi fattori, ad esempio 12 = 4 × 3. Analogamente, anche un'espressione algebrica può essere espressa nella forma dei suoi fattori. Facciamo un esempio, 4x ² + 12xy. Questa equazione ha due termini 4x ² e 12xy.

Possiamo esprimere

4x ² come 4 ⋅ x ⋅ x e

12xy come 12 ⋅ x ⋅ y o 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Si noti che in entrambi i termini 4x è un fattore comune, quindi possiamo anche scrivere l'espressione come \(4x(x + 3y)\) . Espandi \(4x(x + 3y)\) e otterrai la stessa espressione. Abbiamo appena scomposto la nostra prima espressione algebrica!

Un'espressione algebrica può talvolta essere rappresentata sotto forma di un prodotto di due o più espressioni algebriche . Ogni espressione algebrica nel prodotto è chiamata un fattore delle espressioni date. Ad esempio, 4x e x + 3y sono fattori dell'espressione 4x ² + 12xy. La ricerca dei fattori di una data espressione è chiamata fattorizzazione algebrica.

Impariamo a fattorizzare in vari casi:

Quando un'espressione ha un monomio come fattore comune di tutti i suoi termini

Identificare il monomio più grande che è un fattore di ciascun termine dell'espressione.

Esempio :

1. Fattorizzare 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy è il più grande monomio comune ai tre termini 3x ² y, 9xy ² e 12xyz
Pertanto, questo termine può essere espresso come

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Fattorizzare x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy è il più grande monomio comune ai tre termini x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Pertanto, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Quando un'espressione ha un fattore composto comune a tutti i suoi termini

Esempio : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Pertanto, può essere scritto come

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Factoring per raggruppamento

Passaggio 1: disporre i termini dell'espressione data in gruppi in modo tale che tutti i gruppi abbiano un fattore comune.

Passaggio 2: Fattorizzare ciascun gruppo.

Passaggio 3: eliminare il fattore comune a ciascun gruppo.

Esempio :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Quando un'espressione rientra in una formula algebrica

Prova a utilizzare una formula algebrica per fattorizzare un'espressione algebrica.

Esempio :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Usando la formula x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² può essere scritto come (7+2b)⋅(7−2b) cioè 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Usando la formula (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² possiamo sostituire 16x ² +16x+4 come (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado

È possibile scomporre in fattori un polinomio di secondo grado o quadratico? La risposta è si"
Un polinomio quadratico è espresso come ax ²   + bx + c , dove a, b e c non sono uguali a zero.

Discutiamo due casi

1. un = 1
2. \(a \neq 1\)

Caso 1 : Se a = 1
let rappresentare \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , dove l e m sono numeri interi.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Per fattorizzare un'espressione di tipo ax ²   + bx + c, cerca due numeri interi l e m tali che la loro somma sia b e il prodotto sia c.

Esempio: x ² + 6 x + 8

trova due numeri interi l e m la cui somma è 6 e il prodotto è 8.

Poiché 4 + 2 = 6 e 4 × 2 = 8, Perciò

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 o x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Caso 2 : Se \(a \neq 1\) in   ascia ²   + bx + c

trovare due numeri interi l e m tali che

l × m = ac e l + m = b

Esempio : 3x ^2-10x + 8
Trova due numeri interi tali che l × m = 24 e l + m = −10

Due numeri interi che soddisfano questi due criteri sono −6, −4: −6 × −4 = 24 e \( −6 + (−4) = −10\)

Pertanto, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)