任意の数は、たとえば 12 = 4 × 3 のように、因数の形式で表現できます。同様に、代数式も因数の形式で表現できます。 4x 2 + 12xy を例に挙げてみましょう。この方程式には 4x 2と 12xy の 2 つの項があります。
私たちは表現できる
4x 2を 4 ⋅ x ⋅ x および
12xy は 12 ⋅ x ⋅ y または 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y となります。
どちらの項でも 4x が共通因数であるため、式を\(4x(x + 3y)\)と書くこともできることに注意してください。 \(4x(x + 3y)\)を展開すると、同じ式が得られます。最初の代数式を因数分解しました。
代数式は、2 つ以上の代数式の積の形式で表現される場合があります。積内のすべての代数式は、指定された式の因数と呼ばれます。たとえば、4x と x + 3y は、式 4x 2 + 12xy の因数です。指定された式の因数を見つけることは、代数因数分解と呼ばれます。
さまざまなケースで因数分解する方法を学びましょう。
式のすべての項の共通因数として単項式が含まれる場合
式の各項の因数である最大の単項式を特定します。
例:
1. 3x 2 y+ 9xy 2 + 12xyzを因数分解します。
3xy は、3 つの項 3x 2 y、9xy 2 、および 12xyz に共通する最大の単項式です。
したがって、この用語は次のように表現できます。
\( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)
⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)
2. x 3 y 2 z + x 2 y + 2xy 2を因数分解します。
xy は、3 つの項 x 3 y 2 z、x 2 y、2xy 2に共通する最大の単項式です。
したがって、 \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)となります。
式にそのすべての項に共通する複合因子がある場合
例: \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)
したがって、次のように書くことができます
\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)
グループ化による因数分解
ステップ 1:すべてのグループが共通の因数を持つように、指定された式の項をグループに配置します。
ステップ 2:各グループを因数分解します。
ステップ 3:各グループに共通する要素を取り出します。
例:
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)
式が代数式に適合する場合
代数式を使用して代数式を因数分解してみます。
例:
- \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
\(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
式 x 2 −y 2 = (x+y)⋅(x−y) を使用すると、49 − 4b 2 は(7+2b)⋅(7−2b)、つまり 7 2 − (2b) 2と書くことができます。
\( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
- \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
式 (x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2を使用すると、16x 2 +16x+4 を (4x+2) 2として置き換えることができます。
\( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)
2 次三項式の因数分解
2 次多項式または 2 次多項式は因数分解できますか?答えは「はい」です
2次多項式はax 2で表されます。 + bx + c 。ここで、a、b、c はゼロではありません。
2 つのケースについて説明しましょう
- a = 1
- \(a \neq 1\)
ケース 1 : a = 1の場合
\(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\)表します。ここで、l と m は整数です。
\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)
ax 2型の式を因数分解するには + bx + c、和が b、積が c となる 2 つの整数 l と m を探します。
例: x 2 + 6x + 8
和が 6、積が 8 となる 2 つの整数 l と m を求めます。
4 + 2 = 6 および 4 × 2 = 8 より、したがって
\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)
x 2 + 4x + 2x + 8 または x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)
=(x+4)(x+2)
ケース 2 : \(a \neq 1\)の場合 斧2 + bx + c
次のような 2 つの整数 l と m を見つけます。
l × m = ac および l + m = b
例: 3x 2 − 10x + 8
l × m = 24 および l + m = −10 となる 2 つの整数を求めます。
これら 2 つの基準を満たす 2 つの整数は、−6、−4 です。−6 × −4 = 24 および\( −6 + (−4) = −10\)
したがって、3x 2 − 10x + 8 = 3x 2 − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)
