Back to the topics list

алгебарска факторизација

Секој број може да се изрази во форма на неговите фактори, на пример, 12 = 4 × 3. Слично на тоа, алгебарскиот израз може да се изрази и во форма на неговите фактори. Да земеме пример, 4x ² + 12xy. Оваа равенка има два члена 4x ² и 12xy.

Можеме да се изразиме

4x ² како 4 ⋅ x ⋅ x и

12xy како 12 ⋅ x ⋅ y или 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Забележете дека и во двата поима 4x е заеднички фактор, затоа, изразот можеме да го напишеме и како \(4x(x + 3y)\) . Проширете \(4x(x + 3y)\) и ќе го добиете истиот израз. Само што го факторизиравме нашиот прв алгебарски израз!

Алгебарскиот израз понекогаш може да биде претставен во форма на производ од два или повеќе алгебарски изрази . Секој алгебарски израз во производот се нарекува фактор на дадените изрази. На пример, 4x и x + 3y се фактори на изразување 4x ² + 12xy. Наоѓањето фактори на даден израз се нарекува алгебарска факторизација.

Дозволете ни да научиме како да се факторизираме во различни случаи:

Кога изразот има Моном како заеднички фактор на сите негови поими

Идентификувајте го најголемиот моном кој е фактор на секој член од изразот.

Пример :

1. Факторизирај 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy е најголемиот моном заеднички за трите члена 3x ² y, 9xy ² и 12xyz
Затоа, овој термин може да се изрази како

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Факторизирај x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy е најголемиот моном заеднички за трите члена x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Затоа, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Кога изразот има сложен фактор заеднички за сите негови поими

Пример : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Затоа, може да се напише како

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Факторинг по групирање

Чекор 1: Подредете ги поимите од дадениот израз во групи така што сите групи да имаат заеднички фактор.

Чекор 2: Факторизирајте ја секоја група.

Чекор 3: Извадете го факторот што е заеднички за секоја група.

Пример :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Кога изразот се вклопува во алгебарска формула

Обидете се да користите алгебарска формула за факторизирање на алгебарски израз.

Пример :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Користејќи ја формулата x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² може да се запише како (7+2b)⋅(7−2b) што е 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Користејќи ја формулата (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² , можеме да го замениме 16x ² +16x+4 како (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Факторизација на второ - степен трином

Дали може да се факторизира второстепен или квадратен полином? Одговорот е „да“
Квадратен полином се изразува како секира ²   + bx + c , каде што a, b и c не се еднакви на нула.

Ајде да разговараме за два случаи

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Случај 1 : Ако a = 1
нека претставува \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , каде што l и m се цели броеви.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Факторизирање на израз од типот секира ²   + bx + c, побарајте два цели броеви l и m такви што нивниот збир е b, а производ е c.

Пример: x ² + 6x + 8

Најдете два цели броеви l и m чиј збир е 6, а производ е 8.

Како 4 + 2 = 6 и 4 × 2 = 8, затоа

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 или x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Случај 2 : Ако \(a \neq 1\) во   секира ²   + bx + c

најдете два цели броеви l и m такви што

l × m = ac и l + m = b

Пример : 3x ² − 10x + 8
Најдете два цели броеви така што l × m = 24 и l + m = −10

Два цели броеви кои ги исполнуваат овие два критериуми се −6, −4: −6 × −4 = 24 и \( −6 + (−4) = −10\)

Затоа, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)