Back to the topics list

बीजगणित कारक

कुनै पनि संख्यालाई यसको कारकहरूको रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ, उदाहरणका लागि, 12 = 4 × 3। त्यसैगरी, बीजगणितीय अभिव्यक्तिलाई यसको कारकहरूको रूपमा पनि व्यक्त गर्न सकिन्छ। 4x ² + 12xy को उदाहरण लिनुहोस्। यो समीकरणमा दुई शब्दहरू 4x ² र 12xy छन्।

व्यक्त गर्न सक्छौं

4x ² को रूपमा 4 ⋅ x ⋅ x र

12xy को रूपमा 12 ⋅ x ⋅ y वा 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y।

ध्यान दिनुहोस् कि दुबै सर्तहरूमा 4x एक साझा कारक हो, त्यसैले, हामी अभिव्यक्तिलाई \(4x(x + 3y)\) को रूपमा पनि लेख्न सक्छौं। विस्तार गर्नुहोस् \(4x(x + 3y)\) र तपाईंले उही अभिव्यक्ति फिर्ता पाउनुहुनेछ। हामीले भर्खर हाम्रो पहिलो बीजगणितीय अभिव्यक्तिलाई फ्याक्टराइज गरेका छौं!

बीजगणितीय अभिव्यक्तिलाई कहिलेकाहीं दुई वा बढी बीजगणितीय अभिव्यक्तिहरूको उत्पादनको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ। गुणनमा भएका प्रत्येक बीजगणितीय अभिव्यक्तिलाई दिइएको अभिव्यक्तिको कारक भनिन्छ। उदाहरणका लागि, 4x र x + 3y अभिव्यक्ति 4x ² + 12xy को कारकहरू हुन्। दिइएको अभिव्यक्तिको कारक पत्ता लगाउनेलाई बीजगणितीय कारककरण भनिन्छ।

आउनुहोस् हामी विभिन्न केसहरूमा कसरी फ्याक्टराइज गर्ने भनेर जानौं:

जब अभिव्यक्तिमा यसको सबै सर्तहरूको साझा कारकको रूपमा मोनोमियल हुन्छ

अभिव्यक्तिको प्रत्येक पदको कारक हो जुन सबैभन्दा ठूलो मोनोमियल पहिचान गर्नुहोस्।

उदाहरण :

1. 3x ² y + 9xy ² + 12xyz फ्याक्टराइज गर्नुहोस्
3xy 3x ² y, 9xy ² , र 12xyz तीनवटा शब्दहरूमा साझा गरिएको सबैभन्दा ठूलो मोनोमियल हो।
तसर्थ, यो शब्द को रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. x ³ y ² z + x ² y + 2xy ² फ्याक्टराइज गर्नुहोस्
xy तीनवटा शब्दहरू x ³ y ² z, x ² y, 2xy ² को लागि सबैभन्दा ठूलो मोनोमियल सामान्य हो।
त्यसैले, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

जब अभिव्यक्तिमा यसको सबै सर्तहरूमा एक मिश्रित कारक सामान्य हुन्छ

उदाहरण : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

त्यसैले, यो रूपमा लेख्न सकिन्छ

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

समूहीकरण द्वारा फैक्टरिंग

चरण 1: दिइएको अभिव्यक्तिका सर्तहरूलाई समूहहरूमा यसरी मिलाउनुहोस् कि सबै समूहहरूमा साझा कारक छ।

चरण २: प्रत्येक समूहलाई फ्याक्टराइज गर्नुहोस्।

चरण 3: प्रत्येक समूहमा साझा हुने कारक निकाल्नुहोस्।

उदाहरण :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

जब अभिव्यक्ति बीजगणितीय सूत्रमा फिट हुन्छ

बीजगणितीय अभिव्यक्तिलाई फ्याक्टराइज गर्न बीजगणितीय सूत्र प्रयोग गर्ने प्रयास गर्नुहोस्।

उदाहरण :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   सूत्र x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ^{2 लाई} (7+2b)⋅(7−2b) को रूपमा लेख्न सकिन्छ जुन 7 ² − (2b) ² हो।
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   सूत्र (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² प्रयोग गरेर हामी 16x ² +16x+4 लाई (4x+2) ² को रूपमा बदल्न सक्छौं।
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

सेकेन्डको फ्याक्टराइजेशन - डिग्री त्रिनोमियल

के दोस्रो-डिग्री वा चतुर्भुज बहुपदलाई कारक बनाउन सकिन्छ? जवाफ "हो" हो
एक द्विघाती बहुपदलाई ax ² को रूपमा व्यक्त गरिन्छ   + bx + c, जहाँ a, b र c शून्य बराबर हुँदैनन्।

दुई वटा घटनाको चर्चा गरौं

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

केस 1 : यदि a = 1
प्रतिनिधित्व गरौं \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , जहाँ l र m पूर्णांक हुन्।

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

प्रकार ax ² को अभिव्यक्तिलाई गुणात्मक बनाउन   + bx + c, दुई पूर्णांक l र m खोज्नुहोस् जसको योगफल b र गुणन c हो।

उदाहरण: x ² + 6x + 8

दुई पूर्णांक l र m पत्ता लगाउनुहोस् जसको योगफल 6 र गुणनफल 8 हो।

४ + २ = ६ र ४ × २ = ८, त्यसैले

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 वा x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

केस २ : यदि \(a \neq 1\) मा   कुल्हाडी ^२   + bx + c

l र m गरी दुईवटा पूर्णाङ्कहरू फेला पार्नुहोस्

l × m = ac र l + m = b

उदाहरण : ३x ^२ − १०x + ८
l × m = 24 र l + m = −10 जस्ता दुई पूर्णाङ्कहरू फेला पार्नुहोस्

यी दुई मापदण्ड पूरा गर्ने दुई पूर्णाङ्कहरू −6, −4: −6 × −4 = 24 र \( −6 + (−4) = −10\)

त्यसैले, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)