Back to the topics list

algebraïsche ontbinding

Elk getal kan worden uitgedrukt in de vorm van zijn factoren, bijvoorbeeld 12 = 4 × 3. Evenzo kan een algebraïsche uitdrukking ook worden uitgedrukt in de vorm van zijn factoren. Laten we een voorbeeld nemen, 4x ² + 12xy. Deze vergelijking heeft twee termen 4x ² en 12xy.

We kunnen uiten

4x ² als 4 ⋅ x ⋅ x en

12xy als 12 ⋅ x ⋅ y of 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Merk op dat in beide termen 4x een gemeenschappelijke factor is, daarom kunnen we de uitdrukking ook schrijven als \(4x(x + 3y)\) . Vouw \(4x(x + 3y)\) uit en je krijgt dezelfde uitdrukking terug. We hebben zojuist onze eerste algebraïsche uitdrukking ontbonden!

Een algebraïsche uitdrukking kan soms worden weergegeven in de vorm van een product van twee of meer algebraïsche uitdrukkingen . Elke algebraïsche uitdrukking in het product wordt een factor van de gegeven uitdrukkingen genoemd. Bijvoorbeeld, 4x en x + 3y zijn uitdrukkingsfactoren 4x ² + 12xy. Het vinden van factoren van een bepaalde uitdrukking wordt algebraïsche factorisatie genoemd.

Laten we leren hoe we in verschillende gevallen kunnen ontbinden:

Wanneer een uitdrukking een monomiaal heeft als gemeenschappelijke deler van al zijn termen

Identificeer de grootste monomial die een factor is van elke term van de uitdrukking.

Voorbeeld :

1. Factoriseer 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy is de grootste monomial die de drie termen 3x ² y, 9xy ² en 12xyz gemeen hebben
Daarom kan deze term worden uitgedrukt als

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Factoriseer x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy is de grootste gemeenschappelijke monomiaal van de drie termen x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Daarom \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Wanneer een uitdrukking een samengestelde factor heeft die alle termen gemeen hebben

Voorbeeld : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Daarom kan het worden geschreven als

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Factoring door groepering

Stap 1: Rangschik de termen van de gegeven uitdrukking in groepen zodat alle groepen een gemeenschappelijke deler hebben.

Stap 2: Ontbind elke groep in factoren.

Stap 3: Haal de factor eruit die elke groep gemeen heeft.

Voorbeeld :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Wanneer een uitdrukking in een algebraïsche formule past

Probeer een algebraïsche formule te gebruiken om een ​​algebraïsche uitdrukking te ontbinden in factoren.

Voorbeeld :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Met de formule x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), kan 49 − 4b ² worden geschreven als (7+2b)⋅(7−2b) dat is 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Met formule (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² kunnen we 16x ² +16x+4 vervangen door (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Factorisatie van een tweedegraads trinominaal

Kan een tweedegraads of kwadratisch polynoom worden ontbonden? Het antwoord is ja"
Een kwadratisch polynoom wordt uitgedrukt als ax ²   + bx + c , waarbij a, b en c niet gelijk zijn aan nul.

Laten we twee gevallen bespreken

1. een = 1
2. \(a \neq 1\)

Geval 1 : Als a = 1
laten vertegenwoordigen \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , waarbij l en m gehele getallen zijn.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Een uitdrukking van het type ax ² ontbinden in factoren   + bx + c, zoek naar twee gehele getallen l en m zodat hun som b is en het product c.

Voorbeeld: x ² + 6x + 8

zoek twee gehele getallen l en m waarvan de som 6 is en het product 8.

Als 4 + 2 = 6 en 4 × 2 = 8, daarom

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 of x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Geval 2 : Als \(a \neq 1\) in   bijl ²   + bx + c

zoek twee gehele getallen l en m zodanig dat

l × m = ac en l + m = b

Voorbeeld : 3x ² − 10x + 8
Vind twee gehele getallen zodat l × m = 24 en l + m = −10

Twee gehele getallen die aan deze twee criteria voldoen zijn −6, −4: −6 × −4 = 24 en \( −6 + (−4) = −10\)

Dus 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)