Back to the topics list

faktoryzacja algebraiczna

Dowolną liczbę można wyrazić w postaci jej czynników, na przykład 12 = 4 × 3. Podobnie wyrażenie algebraiczne można również wyrazić w postaci jej czynników. Weźmy przykład 4x ² + 12xy. To równanie ma dwa wyrazy 4x ² i 12xy.

Możemy wyrazić

4x ² jako 4 ⋅ x ⋅ x i

12xy jako 12 ⋅ x ⋅ y lub 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Zauważ, że w obu wyrażeniach 4x jest wspólnym czynnikiem, dlatego też możemy zapisać wyrażenie jako \(4x(x + 3y)\) . Rozwiń \(4x(x + 3y)\) a otrzymasz to samo wyrażenie. Właśnie rozłożyliśmy na czynniki nasze pierwsze wyrażenie algebraiczne!

Wyrażenie algebraiczne można czasami przedstawić w postaci iloczynu dwóch lub więcej wyrażeń algebraicznych . Każde wyrażenie algebraiczne w iloczynie nazywamy czynnikiem danych wyrażeń. Na przykład 4x i x + 3y są czynnikami wyrażenia 4x ² + 12xy. Znajdowanie czynników danego wyrażenia nazywa się faktoryzacją algebraiczną.

Nauczmy się rozkładać na czynniki w różnych przypadkach:

Kiedy wyrażenie ma jednomian jako wspólny czynnik wszystkich jego warunków

Wskaż największy jednomian, który jest czynnikiem każdego wyrazu wyrażenia.

Przykład :

1. Rozłóż na czynniki 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy to największy jednomian wspólny dla trzech wyrazów 3x ² y, 9xy ² i 12xyz
Dlatego termin ten można wyrazić jako

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Rozłóż na czynniki x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy jest największym jednomianem wspólnym trzech wyrazów x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Zatem \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Kiedy wyrażenie ma czynnik złożony wspólny dla wszystkich jego warunków

Przykład : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Dlatego można to zapisać jako

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Faktoring przez grupowanie

Krok 1: Ułóż wyrazy podanego wyrażenia w grupy w taki sposób, aby wszystkie grupy miały wspólny czynnik.

Krok 2: Rozłóż każdą grupę na czynniki.

Krok 3: Usuń czynnik, który jest wspólny dla każdej grupy.

Przykład :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Kiedy wyrażenie mieści się w formule algebraicznej

Spróbuj użyć wzoru algebraicznego, aby rozłożyć wyrażenie algebraiczne na czynniki.

Przykład :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Używając wzoru x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² można zapisać jako (7+2b)⋅(7−2b) czyli 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Korzystając ze wzoru (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² możemy zamienić 16x ² +16x+4 na (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Faktoryzacja trójmianu drugiego stopnia

Czy wielomian drugiego stopnia lub wielomian kwadratowy można rozłożyć na czynniki? Odpowiedź brzmi tak"
Wielomian kwadratowy jest wyrażony jako ax ²   + bx + c , gdzie a, b i c nie są równe zeru.

Omówmy dwa przypadki

1. za = 1
2. \(a \neq 1\)

Przypadek 1 : Jeśli a = 1
niech reprezentuje \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , gdzie l i m są liczbami całkowitymi.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Aby rozłożyć na czynniki wyrażenie typu ax ²   + bx + c, poszukaj dwóch liczb całkowitych l i m takich, że ich suma to b, a iloczyn to c.

Przykład: x ² + 6 x + 8

znajdź dwie liczby całkowite l i m, których suma wynosi 6, a iloczyn 8.

Ponieważ 4 + 2 = 6 i 4 × 2 = 8, W związku z tym

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 lub x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Przypadek 2 : Jeżeli \(a \neq 1\) w   topór ²   + bx + do

znajdź dwie liczby całkowite l i m takie, że

l × m = ac i l + m = b

Przykład : 3x ² − 10x + 8
Znajdź dwie liczby całkowite takie, że l × m = 24 i l + m = −10

Dwie liczby całkowite spełniające te dwa kryteria to −6, −4: −6 × −4 = 24 i \( −6 + (−4) = −10\)

Dlatego 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)