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fatoração algébrica

Qualquer número pode ser expresso na forma de seus fatores, por exemplo, 12 = 4 × 3. Da mesma forma, uma expressão algébrica também pode ser expressa na forma de seus fatores. Tomemos um exemplo, 4x ² + 12xy. Esta equação tem dois termos 4x ² e 12xy.

podemos expressar

4x ² como 4 ⋅ x ⋅ x e

12xy como 12 ⋅ x ⋅ y ou 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Observe que em ambos os termos 4x é um fator comum, portanto, também podemos escrever a expressão como \(4x(x + 3y)\) . Expanda \(4x(x + 3y)\) e você receberá a mesma expressão. Acabamos de fatorar nossa primeira expressão algébrica!

Uma expressão algébrica às vezes pode ser representada na forma de um produto de duas ou mais expressões algébricas . Cada expressão algébrica no produto é chamada de fator das expressões dadas. Por exemplo, 4x e x + 3y são fatores de expressão 4x ² + 12xy. Encontrar fatores de uma determinada expressão é chamado de fatoração algébrica.

Vamos aprender como fatorar em vários casos:

Quando uma expressão tem um Monômio como fator comum de todos os seus termos

Identifique o maior monômio que é um fator de cada termo da expressão.

Exemplo :

1. Fatorize 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy é o maior monômio comum aos três termos 3x ² y, 9xy ² e 12xyz
Portanto, este termo pode ser expresso como

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Fatorize x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy é o maior monômio comum aos três termos x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Portanto, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Quando uma expressão tem um fator composto comum a todos os seus termos

Exemplo : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Portanto, pode ser escrito como

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Fatoração por Agrupamento

Passo 1: Organize os termos da expressão dada em grupos de forma que todos os grupos tenham um fator comum.

Passo 2: Fatorize cada grupo.

Passo 3: Retire o fator que é comum a cada grupo.

Exemplo :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Quando uma expressão se encaixa em uma fórmula algébrica

Tente usar uma fórmula algébrica para fatorar uma expressão algébrica.

Exemplo :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Usando a fórmula x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² pode ser escrito como (7+2b)⋅(7−2b) que é 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Usando a fórmula (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² , podemos substituir 16x ² +16x+4 como (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Fatoração de um Trinômio de Segundo Grau

Um polinômio de segundo grau ou quadrático pode ser fatorado? A resposta é sim"
Um polinômio quadrático é expresso como ax ²   + bx + c , onde a, b e c não são iguais a zero.

Vamos discutir dois casos

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Caso 1 : Se a = 1
deixe representar \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , onde l e m são inteiros.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Para fatorar uma expressão do tipo ax ²   + bx + c, procure dois inteiros l e m tais que a soma seja b e o produto seja c.

Exemplo: x ² + 6x + 8

encontre dois inteiros l e m cuja soma seja 6 e o ​​produto seja 8.

Como 4 + 2 = 6 e 4 × 2 = 8, portanto

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 ou x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Caso 2 : Se \(a \neq 1\) em   machado ²   + bx + c

encontre dois inteiros l e m tais que

l × m = ac e l + m = b

Exemplo : 3x ² − 10x + 8
Encontre dois inteiros tais que l × m = 24 e l + m = −10

Dois números inteiros que atendem a esses dois critérios são −6, −4: −6 × −4 = 24 e \( −6 + (−4) = −10\)

Portanto, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)