Back to the topics list

алгебраическая факторизация

Любое число может быть выражено в виде его множителей, например, 12 = 4 × 3. Точно так же алгебраическое выражение также может быть выражено в виде его множителей. Возьмем, к примеру, 4x ² + 12xy. Это уравнение имеет два члена 4x ² и 12xy.

Мы можем выразить

4x ² как 4 ⋅ x ⋅ x и

12xy как 12 ⋅ x ⋅ y или 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Обратите внимание, что в обоих терминах 4x является общим множителем, поэтому мы также можем записать выражение как \(4x(x + 3y)\) . Разверните \(4x(x + 3y)\) и вы получите то же самое выражение. Мы только что факторизовали наше первое алгебраическое выражение!

Алгебраическое выражение иногда может быть представлено в виде произведения двух или более алгебраических выражений . Каждое алгебраическое выражение в произведении называется множителем данных выражений. Например, 4x и x + 3y являются множителями выражения 4x ² + 12xy. Нахождение факторов данного выражения называется алгебраической факторизацией.

Давайте научимся факторизовать в различных случаях:

Когда выражение имеет моном как общий множитель всех его членов

Определите наибольший одночлен, являющийся множителем каждого члена выражения.

Пример :

1. Разложить на множители 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy — наибольший одночлен, общий для трех членов 3x ² y, 9xy ² и 12xyz.
Следовательно, этот термин может быть выражен как

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Разложить на множители x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy — наибольший одночлен, общий для трех членов x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Следовательно, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Когда выражение имеет составной множитель, общий для всех его членов

Пример : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Поэтому его можно записать как

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Факторинг по группировке

Шаг 1: Расположите члены данного выражения в группах так, чтобы все группы имели общий делитель.

Шаг 2: Факторизируйте каждую группу.

Шаг 3: Уберите фактор, общий для каждой группы.

Пример :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Когда выражение вписывается в алгебраическую формулу

Попробуйте использовать алгебраическую формулу, чтобы разложить алгебраическое выражение на множители.

Пример :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Используя формулу x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² можно записать как (7+2b)⋅(7−2b), то есть 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Используя формулу (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² , мы можем заменить 16x ² +16x+4 как (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Факторизация трехчлена второй степени

Можно ли факторизовать многочлен второй степени или квадратичный многочлен? Ответ "да"
Квадратичный многочлен выражается как ax ²   + bx + c , где a, b и c не равны нулю.

Давайте обсудим два случая

1. а = 1
2. \(a \neq 1\)

Случай 1 : если а = 1
пусть представляют \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , где l и m — целые числа.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Чтобы разложить выражение типа ax ² на множители   + bx + c, найдите два целых числа l и m, сумма которых равна b, а произведение равно c.

Пример: х ² + 6 х + 8

Найдите два целых числа l и m, сумма которых равна 6, а произведение равно 8.

Поскольку 4 + 2 = 6 и 4 × 2 = 8, поэтому

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

х ² + 4х + 2х + 8 или х⋅(х+4) + 2⋅(х+4)

=(х+4)(х+2)

Случай 2 : Если \(a \neq 1\) в   топор ²   + бх + с

найдите два целых числа l и m такие, что

l × m = ac и l + m = b

Пример : 3x ² - 10x + 8
Найдите два целых числа таких, что l × m = 24 и l + m = −10.

Два целых числа, которые удовлетворяют этим двум критериям: −6, −4: −6 × −4 = 24 и \( −6 + (−4) = −10\)

Следовательно, 3x ² - 10x + 8 = 3x ² - 6x - 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)