Back to the topics list

faktorizimi algjebrik

Çdo numër mund të shprehet në formën e faktorëve të tij, për shembull, 12 = 4 × 3. Në mënyrë të ngjashme, një shprehje algjebrike mund të shprehet edhe në formën e faktorëve të saj. Le të marrim një shembull, 4x ² + 12xy. Ky ekuacion ka dy terma 4x ² dhe 12xy.

Mund të shprehemi

4x ² si 4 ⋅ x ⋅ x dhe

12xy si 12 ⋅ x ⋅ y ose 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Vini re se në të dy termat 4x është një faktor i përbashkët, prandaj, shprehjen mund ta shkruajmë edhe si \(4x(x + 3y)\) . Zgjero \(4x(x + 3y)\) dhe do të kthesh të njëjtën shprehje. Sapo faktorizuam shprehjen tonë të parë algjebrike!

Një shprehje algjebrike ndonjëherë mund të përfaqësohet në formën e një produkti të dy ose më shumë shprehjeve algjebrike . Çdo shprehje algjebrike në prodhim quhet faktor i shprehjeve të dhëna. Për shembull, 4x dhe x + 3y janë faktorë të shprehjes 4x ² + 12xy. Gjetja e faktorëve të një shprehjeje të caktuar quhet faktorizim algjebrik.

Le të mësojmë se si të faktorizojmë në raste të ndryshme:

Kur një shprehje ka një Monom si faktor të përbashkët të të gjithë termave të saj

Identifikoni monomin më të madh i cili është një faktor i secilit term të shprehjes.

Shembull :

1. Faktorizoni 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy është monomi më i madh i përbashkët për tre termat 3x ² y, 9xy ² dhe 12xyz
Prandaj, ky term mund të shprehet si

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Faktorizoni x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy është monomi më i madh i përbashkët për tre termat x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Prandaj, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Kur një shprehje ka një faktor të përbërë të përbashkët për të gjithë termat e saj

Shembull : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Prandaj, mund të shkruhet si

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Faktorizimi sipas grupimit

Hapi 1: Rregulloni termat e shprehjes së dhënë në grup në mënyrë të tillë që të gjitha grupet të kenë një faktor të përbashkët.

Hapi 2: Faktorizoni secilin grup.

Hapi 3: Hiqni faktorin që është i përbashkët për secilin grup.

Shembull :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Kur një shprehje përshtatet në një formulë algjebrike

Mundohuni të përdorni një formulë algjebrike për të faktorizuar një shprehje algjebrike.

Shembull :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Duke përdorur formulën x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² mund të shkruhet si (7+2b)⋅(7−2b) që është 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Duke përdorur formulën (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² ne mund të zëvendësojmë 16x ² +16x+4 si (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Faktorizimi i një trinomi të shkallës së dytë

A mund të faktorizohet një polinom i shkallës së dytë ose kuadratik? Përgjigja është "po"
Një polinom kuadratik shprehet si sëpatë ²   + bx + c , ku a, b dhe c nuk janë të barabarta me zero.

Le të diskutojmë dy raste

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Rasti 1 : Nëse a = 1
le të përfaqësojmë \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , ku l dhe m janë numra të plotë.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Për të faktorizuar një shprehje të tipit sëpatë ²   + bx + c, kërkoni dy numra të plotë l ​​dhe m të tillë që shuma e tyre të jetë b dhe prodhimi të jetë c.

Shembull: x ² + 6x + 8

gjeni dy numra të plotë l ​​dhe m shuma e të cilëve është 6 dhe prodhimi është 8.

Si 4 + 2 = 6 dhe 4 × 2 = 8, prandaj

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 ose x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Rasti 2 : Nëse \(a \neq 1\) in   sëpatë ²   + bx + c

gjeni dy numra të plotë l ​​dhe m të tillë që

l × m = ac dhe l + m = b

Shembull : 3x ² − 10x + 8
Gjeni dy numra të plotë të tillë që l × m = 24 dhe l + m = −10

Dy numra të plotë që plotësojnë këto dy kritere janë −6, −4: −6 × −4 = 24 dhe \( −6 + (−4) = −10\)

Prandaj, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)