Back to the topics list

algebraisk faktorisering

Vilket tal som helst kan uttryckas i form av dess faktorer, till exempel 12 = 4 × 3. På samma sätt kan ett algebraiskt uttryck också uttryckas i form av dess faktorer. Låt oss ta ett exempel, 4x ² + 12xy. Denna ekvation har två termer 4x ² och 12xy.

Vi kan uttrycka

4x ² som 4 ⋅ x ⋅ x och

12xy som 12 ⋅ x ⋅ y eller 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Lägg märke till att i båda termerna är 4x en gemensam faktor, därför kan vi också skriva uttrycket som \(4x(x + 3y)\) . Expandera \(4x(x + 3y)\) så får du tillbaka samma uttryck. Vi faktoriserade precis vårt första algebraiska uttryck!

Ett algebraiskt uttryck kan ibland representeras i form av en produkt av två eller flera algebraiska uttryck. Varje algebraiskt uttryck i produkten kallas en faktor av de givna uttrycken. Till exempel är 4x och x + 3y uttrycksfaktorer 4x ² + 12xy. Att hitta faktorer för ett givet uttryck kallas algebraisk faktorisering.

Låt oss lära oss att faktorisera i olika fall:

När ett uttryck har en Monomial som en gemensam faktor för alla dess termer

Identifiera den största monomialen som är en faktor för varje term i uttrycket.

Exempel :

1. Faktorisera 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy är den största monomialen som är gemensam för de tre termerna 3x ² y, 9xy ² och 12xyz
Därför kan denna term uttryckas som

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Faktorisera x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy är den största monomialen som är gemensam för de tre termerna x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Därför \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

När ett uttryck har en sammansatt faktor som är gemensam för alla dess termer

Exempel : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Därför kan det skrivas som

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Faktorering genom gruppering

Steg 1: Ordna termerna för det givna uttrycket i grupper på ett sådant sätt att alla grupper har en gemensam faktor.

Steg 2: Faktorisera varje grupp.

Steg 3: Ta ut faktorn som är gemensam för varje grupp.

Exempel :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

När ett uttryck passar in i en algebraisk formel

Försök att använda en algebraisk formel för att faktorisera ett algebraiskt uttryck.

Exempel :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Med formeln x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² kan skrivas som (7+2b)⋅(7−2b) det vill säga 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Med formeln (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² kan vi ersätta 16x ² +16x+4 som (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Faktorisering av en andragradstrinomial

Kan ett andragradspolynom eller ett andragradspolynom faktoriseras? Svaret är ja"
Ett kvadratiskt polynom uttrycks som axe ²   + bx + c , där a, b och c inte är lika med noll.

Låt oss diskutera två fall

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Fall 1 : Om a = 1
låt representera \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) där l och m är heltal.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Att faktorisera ett uttryck av typ axe ²   + bx + c, leta efter två heltal l och m så att deras summa är b och produkten är c.

Exempel: x ² + 6x + 8

hitta två heltal l och m vars summa är 6 och produkten är 8.

Eftersom 4 + 2 = 6 och 4 × 2 = 8, därför

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 eller x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Fall 2 : Om \(a \neq 1\) in   yxa ²   + bx + c

hitta två heltal l och m så att

l × m = ac och l + m = b

Exempel : 3x ² − 10x + 8
Hitta två heltal så att l × m = 24 och l + m = −10

Två heltal som uppfyller dessa två kriterier är −6, ​​−4: −6 × −4 = 24 och \( −6 + (−4) = −10\)

Därför är 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)