Back to the topics list

การคำนวณเชิงพีชคณิต

จำนวนใดๆ สามารถแสดงในรูปของตัวประกอบ เช่น 12 = 4 × 3 นิพจน์พีชคณิตสามารถแสดงในรูปของตัวประกอบได้เช่นกัน ลองยกตัวอย่าง 4x ² + 12xy สมการนี้มีสองพจน์คือ 4x ² และ 12xy

เราแสดงออกได้

4x ² เป็น 4 ⋅ x ⋅ x และ

12xy เป็น 12 ⋅ x ⋅ y หรือ 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y

ขอให้สังเกตว่าในทั้งสองเงื่อนไข 4x เป็นตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น เราสามารถเขียนนิพจน์เป็น \(4x(x + 3y)\) เช่นกัน ขยาย \(4x(x + 3y)\) แล้วคุณจะได้นิพจน์เดิมกลับมา เราเพิ่งแยกตัวประกอบนิพจน์พีชคณิตตัวแรกของเรา!

นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตบางครั้งสามารถแสดงใน รูปของผลคูณของนิพจน์พีชคณิตตั้งแต่สองนิพจน์ขึ้นไป นิพจน์พีชคณิตทุกตัวในผลคูณเรียกว่าตัวประกอบของนิพจน์ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น 4x และ x + 3y เป็นตัวประกอบของนิพจน์ 4x ² + 12xy การหาตัวประกอบของนิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า การแยกตัวประกอบทางพีชคณิต

ให้เราเรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบในกรณีต่างๆ:

เมื่อนิพจน์มี Monomial เป็นปัจจัยร่วมของเงื่อนไขทั้งหมด

ระบุ monomial ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งเป็นตัวประกอบของแต่ละพจน์ของนิพจน์

ตัวอย่าง :

1. แยกตัวประกอบ 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy เป็นโมโนเมียลที่ใหญ่ที่สุดร่วมของสามเทอม 3x ² y, 9xy ² และ 12xyz
ดังนั้นคำนี้สามารถแสดงเป็น

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. แยกตัวประกอบ x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy เป็นโมโนเมียลที่ใหญ่ที่สุดร่วมของสามพจน์ x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
ดังนั้น \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

เมื่อนิพจน์มีตัวประกอบร่วมของพจน์ทั้งหมด

ตัวอย่าง : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้เป็น

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ขั้นตอนที่ 1: จัดเรียงเงื่อนไขของนิพจน์ที่กำหนดในกลุ่มในลักษณะที่ทุกกลุ่มมีตัวประกอบร่วมกัน

ขั้นตอนที่ 2: แยกตัวประกอบแต่ละกลุ่ม

ขั้นตอนที่ 3: นำปัจจัยที่มีร่วมกันในแต่ละกลุ่มออก

ตัวอย่าง :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

เมื่อนิพจน์เข้ากับสูตรพีชคณิต

ลองใช้สูตรเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อแยกตัวประกอบนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต

ตัวอย่าง :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   ใช้สูตร x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² สามารถเขียนได้เป็น (7+2b)⋅(7−2b) นั่นคือ 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   ใช้สูตร (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² เราสามารถแทนที่ 16x ² +16x+4 เป็น (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

การแยกตัวประกอบของ Trinomial ดีกรี สอง

พหุนามดีกรีสองหรือพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่? คำตอบคือ "ใช่"
พหุนามกำลังสองแสดงเป็น ax ²   + bx + c โดยที่ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์

เรามาคุยกันสองกรณี

1. เอ = 1
2. \(a \neq 1\)

กรณีที่ 1 : ถ้า a = 1
ให้แทนค่า \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) โดยที่ l และ m เป็นจำนวนเต็ม

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

การแยกตัวประกอบนิพจน์ประเภท ax ²   + bx + c มองหาจำนวนเต็มสองตัว l และ m ซึ่งผลรวมของมันคือ b และผลคูณคือ c

ตัวอย่าง: x ² + 6x + 8

หาจำนวนเต็มสองจำนวน l และ m ซึ่งมีผลรวมเป็น 6 และผลคูณเท่ากับ 8

โดยที่ 4 + 2 = 6 และ 4 × 2 = 8, ดังนั้น

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 หรือ x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

กรณีที่ 2 : ถ้า \(a \neq 1\) ใน   ขวาน ²   +bx+ค

หาจำนวนเต็มสองตัว l และ m แบบนั้น

ล. × ม. = ไฟฟ้ากระแสสลับ และ ล. + ม. = ข

ตัวอย่าง : 3x ² − 10x + 8
หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่ l × m = 24 และ l + m = −10

จำนวนเต็มสองตัวที่เป็นไปตามเกณฑ์ทั้งสองนี้คือ −6, −4: −6 × −4 = 24 และ \( −6 + (−4) = −10\)

ดังนั้น 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)