Back to the topics list

algebraic factorisation

Ang anumang numero ay maaaring ipahayag sa anyo ng mga salik nito, halimbawa, 12 = 4 × 3. Katulad nito, ang isang algebraic expression ay maaari ding ipahayag sa anyo ng mga salik nito. Kumuha tayo ng isang halimbawa, 4x ² + 12xy. Ang equation na ito ay may dalawang termino 4x ² at 12xy.

Maaari naming ipahayag

4x ² bilang 4 ⋅ x ⋅ x at

12xy bilang 12 ⋅ x ⋅ y o 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Pansinin na sa parehong mga terminong 4x ay isang pangkaraniwang kadahilanan, samakatuwid, maaari rin nating isulat ang expression bilang \(4x(x + 3y)\) . Palawakin ang \(4x(x + 3y)\) at babalikan mo ang parehong expression. Factorize lang namin ang aming unang algebraic expression!

Ang isang Algebraic expression ay maaaring minsan ay kinakatawan sa anyo ng isang produkto ng dalawa o higit pang mga algebraic na expression . Ang bawat algebraic na expression sa produkto ay tinatawag na isang kadahilanan ng mga ibinigay na expression. Halimbawa, ang 4x at x + 3y ay mga salik ng pagpapahayag na 4x ² + 12xy. Ang paghahanap ng mga kadahilanan ng isang ibinigay na expression ay tinatawag na Algebraic Factorization.

Alamin natin kung paano mag-factorize sa ilalim ng iba't ibang mga kaso:

Kapag ang isang expression ay may Monomial bilang isang karaniwang kadahilanan ng lahat ng mga termino nito

Tukuyin ang pinakamalaking monomial na isang salik ng bawat termino ng expression.

Halimbawa :

1. I-factor ang 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
Ang 3xy ay ang pinakamalaking monomial na karaniwan sa tatlong terminong 3x ² y, 9xy ² , at 12xyz
Samakatuwid, ang terminong ito ay maaaring ipahayag bilang

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. I-factor ang x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
Ang xy ay ang pinakamalaking monomial na karaniwan sa tatlong termino x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Samakatuwid, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Kapag ang isang expression ay may compound factor na karaniwan sa lahat ng termino nito

Halimbawa : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Samakatuwid, maaari itong isulat bilang

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Factoring sa pamamagitan ng Pagpapangkat

Hakbang 1: Ayusin ang mga termino ng ibinigay na expression sa mga grupo sa paraang ang lahat ng mga grupo ay may isang karaniwang kadahilanan.

Hakbang 2: I-factor ang bawat pangkat.

Hakbang 3: Ilabas ang salik na karaniwan sa bawat pangkat.

Halimbawa :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Kapag ang isang expression ay umaangkop sa isang algebraic formula

Subukang gumamit ng algebraic formula upang i-factor ang isang algebraic expression.

Halimbawa :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Gamit ang formula x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² ay maaaring isulat bilang (7+2b)⋅(7−2b) na 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Gamit ang formula (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² maaari nating palitan ang 16x ² +16x+4 bilang (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Factorization ng Second - Degree Trinomial

Maaari bang mai-factorize ang second-degree o quadratic polynomial? Ang sagot ay oo"
Ang isang quadratic polynomial ay ipinahayag bilang ax ²   + bx + c , kung saan ang a, b at c ay hindi katumbas ng zero.

Pag-usapan natin ang dalawang kaso

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

Case 1 : Kung a = 1
hayaang kumatawan \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , kung saan ang l at m ay mga integer.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Upang i-factor ang isang expression ng uri ng ax ²   + bx + c, hanapin ang dalawang integer na l at m na ang kanilang kabuuan ay b at ang produkto ay c.

Halimbawa: x ² + 6x + 8

hanapin ang dalawang integer na l at m na ang kabuuan ay 6 at ang produkto ay 8.

Bilang 4 + 2 = 6 at 4 × 2 = 8, samakatuwid

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 o x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Case 2 : Kung \(a \neq 1\) ay nasa   palakol ²   + bx + c

hanapin ang dalawang integers l at m tulad na

l × m = ac at l + m = b

Halimbawa : 3x ² − 10x + 8
Maghanap ng dalawang integer na ang l × m = 24 at l + m = −10

Dalawang integer na tumutupad sa dalawang pamantayang ito ay −6, −4: −6 × −4 = 24 at \( −6 + (−4) = −10\)

Samakatuwid, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)