Back to the topics list

cebirsel çarpanlara ayırma

Herhangi bir sayı, çarpanları şeklinde ifade edilebilir, örneğin, 12 = 4 × 3. Benzer şekilde, bir cebirsel ifade de çarpanları şeklinde ifade edilebilir. Bir örnek verelim, 4x ² + 12xy. Bu denklemin iki terimi vardır, 4x ² ve 12xy.

ifade edebiliriz

4x ² olarak 4 ⋅ x ⋅ x ve

12xy, 12 ⋅ x ⋅ y veya 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y olarak.

4x'in her iki terimde de ortak çarpan olduğuna dikkat edin, bu nedenle ifadeyi \(4x(x + 3y)\) olarak da yazabiliriz. \(4x(x + 3y)\) öğesini genişletin ve aynı ifadeyi geri alacaksınız. İlk cebirsel ifademizi çarpanlara ayırdık!

Cebirsel bir ifade bazen iki veya daha fazla cebirsel ifadenin çarpımı şeklinde gösterilebilir. Çarpımdaki her cebirsel ifadeye verilen ifadelerin çarpanı denir. Örneğin, 4x ve x + 3y, 4x ² + 12xy ifadesinin çarpanlarıdır. Belirli bir ifadenin çarpanlarını bulma işlemine Cebirsel Çarpanlara ayırma denir.

Çeşitli durumlarda nasıl çarpanlarına ayıracağımızı öğrenelim:

Bir ifade, tüm terimlerinin ortak çarpanı olarak bir Monomial'e sahip olduğunda

İfadenin her teriminin bir çarpanı olan en büyük tek terimliyi tanımlayın.

Örnek :

1. 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz'yi çarpanlarına ayırın
3xy, üç terim olan 3x ² y, 9xy ² ve 12xyz için ortak olan en büyük monomdur.
Bu nedenle, bu terim şu şekilde ifade edilebilir:

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. x ³ y ² z + x ² y + 2xy ^2'yi çarpanlara ayırın
xy, x ³ y ² z, x ² y, 2xy ² üç terimi için ortak olan en büyük tek terimlidir
Bu nedenle, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Bir ifade, tüm terimleri için ortak bir bileşik çarpana sahip olduğunda

Örnek : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Bu nedenle, olarak yazılabilir

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Gruplandırmaya Göre Faktoring

Adım 1: Verilen ifadenin terimlerini, tüm grupların ortak çarpanı olacak şekilde gruplar halinde düzenleyin.

Adım 2: Her grubu çarpanlara ayırın.

Adım 3: Her grup için ortak olan çarpanı çıkarın.

Örnek :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Bir ifade cebirsel bir formüle uyduğunda

Cebirsel bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için bir cebirsel formül kullanmayı deneyin.

Örnek :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² formülünü kullanarak (7+2b)⋅(7−2b) yani 7 ² − (2b) ² şeklinde yazılabilir.
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² formülünü kullanarak 16x ² +16x+4'ü (4x+2) ² olarak değiştirebiliriz
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

İkinci Derece Üçlü Terimin Çarpanlara Ayrılması

İkinci dereceden veya ikinci dereceden bir polinom çarpanlara ayrılabilir mi? Cevap Evet"
İkinci dereceden bir polinom, eksen ² olarak ifade edilir   + bx + c , burada a, b ve c sıfıra eşit değildir.

İki vakayı tartışalım

1. bir = 1
2. \(a \neq 1\)

Durum 1 : a = 1 ise
l ve m tamsayı olmak üzere \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) temsil edelim.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

ax ² türünde bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için   + bx + c, toplamları b ve çarpımları c olacak şekilde iki l ve m tamsayısını arayın.

Örnek: x ² + 6x + 8

Toplamları 6 ve çarpımı 8 olan l ve m tam sayılarını bulun.

4+2=6 ve 4×2=8 olduğuna göre, Öyleyse

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 veya x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Durum 2 : Eğer \(a \neq 1\)   balta ²   + bx + c

iki tamsayı l ve m bulun öyle ki

l × m = ac ve l + m = b

Örnek : 3x ² - 10x + 8
l × m = 24 ve l + m = -10 olacak şekilde iki tam sayı bulun

Bu iki kriteri karşılayan iki tam sayı: −6, −4: −6 × −4 = 24 ve \( −6 + (−4) = −10\)

Bu nedenle, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)