Back to the topics list

алгебраїчна факторизація

Будь-яке число можна виразити у вигляді своїх множників, наприклад, 12 = 4 × 3. Подібним чином алгебраїчний вираз також можна виразити у вигляді своїх множників. Візьмемо приклад, 4x ² + 12xy. Це рівняння має два члени 4x ² і 12xy.

Ми можемо висловити

4x ² як 4 ⋅ x ⋅ x і

12xy як 12 ⋅ x ⋅ y або 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

Зауважте, що в обох членах 4x є спільним множником, тому ми також можемо записати вираз у вигляді \(4x(x + 3y)\) . Розгорніть \(4x(x + 3y)\) і ви отримаєте той самий вираз. Ми щойно розклали наш перший алгебраїчний вираз на множники!

Алгебраїчний вираз іноді може бути представлений у вигляді добутку двох або більше алгебраїчних виразів . Кожен алгебраїчний вираз у добутку називається множником даних виразів. Наприклад, 4x і x + 3y є множниками виразу 4x ² + 12xy. Знаходження множників даного виразу називається алгебраїчною факторизацією.

Давайте навчимося розкладати на множники різні випадки:

Коли вираз має одночлен як спільний множник усіх його членів

Визначте найбільший одночлен, який є множником кожного члена виразу.

приклад :

1. Розкладіть на множники 3x ² y+ 9xy ² + 12xyz
3xy — найбільший моном, спільний для трьох членів 3x ² y, 9xy ² і 12xyz
Тому цей термін можна виразити так

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. Розкладіть на множники x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy — найбільший моном, спільний для трьох членів x ³ y ² z, x ² y, 2xy ²
Отже, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Коли вираз має складений множник, спільний для всіх його членів

Приклад : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Тому це можна записати так

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Факторинг шляхом групування

Крок 1: Розмістіть члени поданого виразу в групи таким чином, щоб усі групи мали спільний множник.

Крок 2: Розкладіть кожну групу на множники.

Крок 3: Вилучіть фактор, спільний для кожної групи.

приклад :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Коли вираз укладається в алгебраїчну формулу

Спробуйте використати алгебраїчну формулу, щоб розкласти алгебраїчний вираз на множники.

приклад :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   Використовуючи формулу x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y), 49 − 4b ² можна записати як (7+2b)⋅(7−2b), тобто 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   Використовуючи формулу (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² , ми можемо замінити 16x ² +16x+4 на (4x+2) ²
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Факторизація тричлена другого ступеня

Чи можна розкласти на множники багаточлен другого ступеня або квадратний поліном? відповідь "так"
Квадратний многочлен виражається як ax ²   + bx + c , де a, b і c не дорівнюють нулю.

Давайте обговоримо два випадки

1. а = 1
2. \(a \neq 1\)

Випадок 1 : якщо a = 1
позначте \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) , де l і m — цілі числа.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

Щоб розкласти вираз типу ^ax2 на множники   + bx + c, знайдіть два цілі числа l і m, сума яких дорівнює b, а добуток дорівнює c.

Приклад: x ² + 6x + 8

знайти два цілих числа l і m, сума яких дорівнює 6, а добуток — 8.

Оскільки 4 + 2 = 6 і 4 × 2 = 8, тому

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 або x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

Випадок 2 : якщо \(a \neq 1\) в   сокира ²   + bx + c

Знайдіть два цілих числа l і m таких, що

l × m = ac і l + m = b

приклад : 3x ² − 10x + 8
Знайдіть два цілі числа, для яких l × m = 24 і l + m = −10

Два цілих числа, які задовольняють цим двом критеріям, є −6, −4: −6 × −4 = 24 і \( −6 + (−4) = −10\)

Отже, 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)