Back to the topics list

الجبرایک عوامل

کسی بھی عدد کو اس کے عوامل کی شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، 12 = 4 × 3۔ اسی طرح، ایک الجبری اظہار بھی اس کے عوامل کی صورت میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ آئیے ایک مثال لیں، 4x ² + 12xy۔ اس مساوات میں دو اصطلاحات 4x ² اور 12xy ہیں۔

ہم اظہار کر سکتے ہیں۔

4x ² بطور 4 ⋅ x ⋅ x اور

12xy بطور 12 ⋅ x ⋅ y یا 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y۔

غور کریں کہ دونوں اصطلاحات میں 4x ایک عام فیکٹر ہے، اس لیے ہم اظہار کو \(4x(x + 3y)\) بھی لکھ سکتے ہیں۔ پھیلائیں \(4x(x + 3y)\) اور آپ کو وہی اظہار واپس ملے گا۔ ہم نے ابھی اپنے پہلے الجبری اظہار کو فیکٹرائز کیا!

الجبری اظہار کو بعض اوقات دو یا دو سے زیادہ الجبری تاثرات کی مصنوع کی صورت میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مصنوع میں ہر الجبری اظہار کو دیئے گئے اظہار کا عنصر کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، 4x اور x + 3y اظہار 4x ² + 12xy کے عوامل ہیں۔ دیئے گئے اظہار کے عوامل کو تلاش کرنا الجبری فیکٹرائزیشن کہلاتا ہے۔

آئیے سیکھیں کہ مختلف معاملات میں فیکٹرائز کیسے کریں:

جب کسی اظہار میں اس کی تمام اصطلاحات کے مشترکہ عنصر کے طور پر ایک Monomial ہوتا ہے۔

سب سے بڑے monomial کی شناخت کریں جو اظہار کی ہر اصطلاح کا ایک عنصر ہے۔

مثال :

1. فیکٹرائز 3x ² y + 9xy ² + 12xyz
3xy تین اصطلاحات 3x ² y، 9xy ² ، اور 12xyz میں سب سے بڑا یک نام مشترک ہے
لہذا، اس اصطلاح کا اظہار کیا جا سکتا ہے

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. فیکٹرائز x ³ y ² z + x ² y + 2xy ²
xy تین اصطلاحات x ³ y ² z، x ² y، 2xy ² کا سب سے بڑا یک نام مشترک ہے
لہذا، \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

جب کسی اظہار کا مرکب عنصر اس کی تمام اصطلاحات میں مشترک ہو۔

مثال : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

اس لیے اسے بطور لکھا جا سکتا ہے۔

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

گروپ بندی کی طرف سے فیکٹرنگ

مرحلہ 1: گروپوں میں دیے گئے اظہار کی شرائط کو اس طرح ترتیب دیں کہ تمام گروپس کا ایک عام فیکٹر ہو۔

مرحلہ 2: ہر گروپ کو فیکٹرائز کریں۔

مرحلہ 3: اس عنصر کو نکالیں جو ہر گروپ میں عام ہے۔

مثال :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

جب کوئی اظہار الجبری فارمولے میں فٹ ہوجاتا ہے۔

الجبری ایکسپریشن کو فیکٹرائز کرنے کے لیے الجبری فارمولہ استعمال کرنے کی کوشش کریں۔

مثال :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   فارمولہ x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y) کا استعمال کرتے ہوئے، 49 − 4b ^{2 کو} (7+2b)⋅(7−2b) کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جو کہ 7 ² − (2b) ² ہے
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   فارمولہ (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² کا استعمال کرتے ہوئے ہم 16x ² +16x+4 کو (4x+2) ² سے بدل سکتے ہیں۔
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

ایک سیکنڈ کا فیکٹرائزیشن - ڈگری تثلیث

کیا سیکنڈ ڈگری یا چوکور کثیر کو فیکٹرائز کیا جا سکتا ہے؟ جواب ہے "ہاں"
ایک چوکور کثیر الثانی کو ax ² کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔   + bx + c، جہاں a، b اور c صفر کے برابر نہیں ہیں۔

آئیے دو صورتوں پر بات کرتے ہیں۔

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

کیس 1 : اگر a = 1
آئیے نمائندگی کریں \(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) ، جہاں l اور m عددی عدد ہیں۔

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

قسم ax ² کے اظہار کو فیکٹرائز کرنے کے لیے   + bx + c، دو عدد l اور m تلاش کریں کہ ان کا مجموعہ b اور مصنوع c ہے۔

مثال: x ² + 6x + 8

دو عدد l اور m تلاش کریں جن کا مجموعہ 6 ہے اور مصنوع 8 ہے۔

جیسا کہ 4 + 2 = 6 اور 4 × 2 = 8، لہذا

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 یا x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

کیس 2 : اگر \(a \neq 1\) میں   کلہاڑی ²   + bx + c

دو عدد l اور m اس طرح تلاش کریں۔

l × m = ac اور l + m = b

مثال : 3x ² − 10x + 8
دو عدد عدد تلاش کریں جیسے کہ l × m = 24 اور l + m = −10

دو عدد جو ان دو معیاروں کو پورا کرتے ہیں وہ ہیں −6، −4: −6 × −4 = 24 اور \( −6 + (−4) = −10\)

لہذا، 3x ² − 10x + 8 = 3x ² − 6x − 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)