Back to the topics list

algebraik faktorizatsiya

Har qanday sonni uning omillari shaklida ifodalash mumkin, masalan, 12 = 4 × 3. Xuddi shunday, algebraik ifoda ham uning omillari shaklida ifodalanishi mumkin. Keling, 4x ² + 12xy misolini olaylik. Bu tenglama ikkita haddan iborat 4x ² va 12xy.

ifodalashimiz mumkin

4x ² sifatida 4 ⋅ x ⋅ x va

12xy 12 ⋅ x ⋅ y yoki 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y.

E'tibor bering, ikkala atamada 4x umumiy omil hisoblanadi, shuning uchun biz ifodani \(4x(x + 3y)\) shaklida yozishimiz mumkin. \(4x(x + 3y)\) kengaytiring va siz xuddi shu iborani qaytarib olasiz. Biz birinchi algebraik ifodamizni faktorlarga ajratdik!

Algebraik ifoda ba'zan ikki yoki undan ortiq algebraik ifodalarning mahsuloti shaklida ifodalanishi mumkin. Mahsulotdagi har bir algebraik ifoda berilgan ifodalarning omili deyiladi. Masalan, 4x va x + 3y 4x ² + 12xy ifoda omillari. Berilgan ifodaning omillarini topishga algebraik faktorizatsiya deyiladi.

Keling, turli holatlarda faktorizatsiya qilishni o'rganamiz:

Ifoda barcha atamalarining umumiy omili sifatida Monomial bo'lsa

Ifodaning har bir a'zosining omili bo'lgan eng katta monomialni aniqlang.

Misol :

1. 3x ² y+ 9xy ² + 12xyzni ko‘paytiring
3xy - 3x ² y, 9xy ² va 12xyz uchta atama uchun umumiy bo'lgan eng katta monomial.
Shuning uchun bu atama quyidagicha ifodalanishi mumkin

  \( 3xy(x) + 3xy(3y) + 3xy(4z) \)

⇒ \(3xy(x + 3y + 4z)\)

2. x ³ y ² z + x ² y + 2xy ² ni koeffitsientlarga ajrating
xy - x ³ y ² z, x ² y, 2xy ² uchta atama uchun umumiy bo'lgan eng katta monomial.
Shuning uchun, \(x^3y^2z + x^2y + 2xy^2 \) = \(xy(x^2yz + x + 2y)\)

Ifoda barcha terminlari uchun umumiy birikma omilga ega bo'lganda

Misol : \(3(x + 2y) + 5x(x + 2y)^2 \)

Shuning uchun uni shunday yozish mumkin

\((x + 2y) (3 + 5x^2+ 10xy)\)

Guruhlash orqali faktoring

1-bosqich: Berilgan ifodaning shartlarini guruhlarga shunday joylashtiringki, barcha guruhlar umumiy omilga ega bo‘lsin.

2-qadam: Har bir guruhni faktorlarga ajrating.

3-qadam: Har bir guruh uchun umumiy bo'lgan omilni chiqarib tashlang.

Misol :
\(5ax^2 + 3axy −5bxy − 3by^2 \\ ax(5x + 3y)− by(5x + 3y) \\ (5x + 3y) (ax − by)\)

Ifoda algebraik formulaga mos kelganda

Algebraik ifodani faktorlarga ajratish uchun algebraik formuladan foydalanishga harakat qiling.

Misol :

1. \(49m^2b^4 − 4m^2b^6 \)
   \(= m^2b^4(49 − 4b^2)\)
   x ² −y ² = (x+y)⋅(x−y) formulasidan foydalanib, 49 − 4b ^{2 ni} (7+2b)⋅(7−2b) shaklida yozish mumkin, ya’ni 7 ² − (2b) ²
   \( = m^2b^4[7^2 − (2b)^2] = m^2b^4(7 − 2b)(7 + 2b) \)
   
2. \(32x^2+32x + 8 = 2( 16x^2+ 16x + 4)\)
   (x+y) ² = x ² + 2xy + y ² formulasidan foydalanib, 16x ² +16x+4 ni (4x+2) ² ga almashtiramiz.
   \( = 2[(4x)^2+ 2⋅4x⋅2 + 2^2] = 2(4x + 2)^2 \)

Ikkinchi darajali trinomialning faktorizatsiyasi

Ikkinchi darajali yoki kvadratik ko'phadni faktorlarga ajratish mumkinmi? Javob "ha"
Kvadrat polinom ax ² bilan ifodalanadi   + bx + c , bu erda a, b va c nolga teng emas.

Keling, ikkita ishni muhokama qilaylik

1. a = 1
2. \(a \neq 1\)

1-holat : a = 1 bo'lsa
\(ax^2 + bx + c = (x + l) (x + m)\) ifodalansin, bu erda l va m butun sonlardir.

\(ax^2 + bx + c = x^2 + lx + mx + lm = x^2 + (l + m )x + lm\)

ax ² tipidagi ifodani faktorlarga ajratish   + bx + c, ikkita l va m butun sonlarni toping, shunda ularning yig'indisi b va ko'paytmasi c bo'lsin.

Misol: x ² + 6x + 8

yig'indisi 6 va ko'paytmasi 8 bo'lgan ikkita l va m butun sonlarni toping.

4 + 2 = 6 va 4 × 2 = 8 sifatida, shuning uchun

\(x^2 + 6x + 8 = x^2 + (4 + 2)x + (4 × 2) \)

x ² + 4x + 2x + 8 yoki x⋅(x+4) + 2⋅(x+4)

=(x+4)(x+2)

2-holat : Agar \(a \neq 1\) boʻlsa   bolta ²   + bx + c

shunday ikkita l va m butun sonlarni toping

l × m = ac va l + m = b

Misol : 3x ² - 10x + 8
l × m = 24 va l + m = -10 bo'lgan ikkita butun sonni toping.

Bu ikki mezonga javob beradigan ikkita butun son −6, −4: −6 × −4 = 24 va \( −6 + (−4) = −10\)

Demak, 3x ² - 10x + 8 = 3x ² - 6x - 4x + 8
= \(3x(x − 2) − 4(x − 2) = (3x − 4) (x − 2)\)