يعتمد كلا الجزأين من حساب التفاضل والتكامل وحساب التفاضل والتكامل على الحدود .
الحد هو أفضل توقع لنقطة ما. إنه يعطينا تقديرًا عندما لا نتمكن من حساب النتيجة مباشرة. الحد هو القيمة التي "تقترب" الدالة منها عندما "يقترب" الإدخال من بعض القيمة.
دعونا نفهم هذا المفهوم باستخدام مثال.
دع f(x) = 4x − 3. احسب قيم f(x) حيث أن x تقرب القيمة من 3. انظر إلى الرسم البياني للدالة f(x) = 4x − 3. افحص النقاط التي تكون فيها x أقرب إلى 3.
النظر في سيناريوهين هنا
(ط) × تقترب من 3 من اليسار و
(2) × تقترب من 3 من اليمين.
| س | و (خ) | س | و (خ) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
هل ترى الصف الأخير؟ في كلتا الحالتين عندما تقترب x من 3، تقترب f(x) من 9. لذلك يمكننا القول:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
لنأخذ مثالًا آخر، أوجد نهاية الدالة f(x) عندما تقترب x من 2، حيث \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) ، أي \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
إذا وضعنا قيمة x على أنها 2 نحصل على: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{غير معرف}\)
هذا يعني أننا لا نستطيع الحصول على قيمة الحد عن طريق استبدال قيمة x في التعبير. دعونا نحسب قيمة f(x) عندما تقترب x من 2.
| س | و (خ) | س | و (خ) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
مع اقتراب x من 2، تقترب قيمة \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) من 4. لذلك،
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
يمكن تعريف الاستمرارية من الناحية المفاهيمية بعدة طرق مختلفة. تعتبر الدالة مستمرة إذا كان من الممكن تتبع الرسم البياني الخاص بها باستخدام قلم دون رفع القلم عن الصفحة. تكون الدالة متصلة إذا كان الرسم البياني الخاص بها عبارة عن منحنى غير منقطع بدون ثقوب أو فجوات أو فواصل. تمثل الرسوم البيانية أدناه وظائف مستمرة.
كتعريف أكثر رسمية للاستمرارية، يمكننا أن نقول أن الدالة f(x) مستمرة عند النقطة x = a إذا تم استيفاء الشروط التالية:
(i) تم تعريف f(a) (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) موجود (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = و(أ)
تحقق من الوظائف المرسومة في الرسوم البيانية أدناه. كلتا الوظيفتين لا تستوفي شروط الاستمرارية الثلاثة:
انظر إلى الرسم البياني الأول، \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) عند النقطة a يكون صحيحًا إذا اقتربت x من القيمة 'a' من الجانب الأيمن. ولكن إذا كانت x تقترب من القيمة 'a' من الجانب الأيسر، فإن f(x) لا تقترب من f(a)، وبالتالي فهي دالة غير متصلة.
