ক্যালকুলাসের উভয় অংশ, ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস সীমার উপর ভিত্তি করে।
সীমা হল একটি বিন্দুর সেরা ভবিষ্যদ্বাণী। এটি আমাদের একটি অনুমান দেয় যখন আমরা সরাসরি ফলাফল গণনা করতে পারি না। সীমা হল সেই মান যা ফাংশন 'অ্যাপ্রোচ' ইনপুট হিসাবে কিছু মান 'অ্যাপ্রোচ' করে।
আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে এই ধারণাটি বুঝতে পারি।
ধরুন f(x) = 4x − 3. f(x) এর মান গণনা করুন যেহেতু x মান 3 এর কাছাকাছি নেয়। ফাংশন f(x) = 4x − 3 এর জন্য গ্রাফটি দেখুন। বিন্দু পরীক্ষা করুন যেখানে x 3 এর কাছাকাছি।
এখানে দুটি পরিস্থিতি বিবেচনা করুন
(i) x বাম থেকে 3 এর কাছে আসছে এবং
(ii) x ডান দিক থেকে 3 এর কাছে আসছে।
| এক্স | f(x) | এক্স | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | ৫.৮ | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | ৯.৮ | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | ৯.৪৮ | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | ৮.৬৪ | ৩.০৯ | 9.36 | |
| 2.95 | ৮.৮ | ৩.০৫ | 9.2 | |
| 2.999 | ৮.৯৯৬ | 3.01 | 9.04 |
আপনি কি শেষ সারি দেখতে পাচ্ছেন? উভয় ক্ষেত্রেই x যখন 3 এর কাছে আসে, f(x) 9 এর কাছে আসে। অতএব, আমরা বলতে পারি:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক, x 2 এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে f(x) ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করা যাক, যেখানে \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , অর্থাৎ \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
যদি আমরা x এর মান 2 হিসাবে রাখি তাহলে আমরা পাব: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{অনির্ধারিত}\)
এটি বোঝায় যে আমরা এক্সপ্রেশনে x এর মান প্রতিস্থাপন করে সীমার মান পেতে পারি না। x 2 এর কাছে আসার সাথে সাথে f(x) এর মান গণনা করা যাক।
| এক্স | f(x) | এক্স | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | ৩.৯৯ |
x 2 এর কাছে আসার সাথে সাথে \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) এর মান 4 এর কাছে আসে। তাই,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
ধারাবাহিকতা ধারণাগতভাবে কয়েকটি ভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি ফাংশন ক্রমাগত থাকে, যদি পৃষ্ঠা থেকে কলম না তুলে একটি কলম দিয়ে এর গ্রাফটি চিহ্নিত করা যায়। একটি ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হয় যদি এর গ্রাফ একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা হয় যেখানে কোনও গর্ত, ফাঁক বা বিরতি নেই। নীচের গ্রাফগুলি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন উপস্থাপন করে।
ধারাবাহিকতার আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা হিসাবে, আমরা বলতে পারি একটি ফাংশন f(x) একটি বিন্দু x = a এ অবিচ্ছিন্ন যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়:
(i) f(a) সংজ্ঞায়িত (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) বিদ্যমান (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
নীচের গ্রাফগুলিতে প্লট করা ফাংশনগুলি পরীক্ষা করুন৷ উভয় ফাংশন তিনটি ধারাবাহিকতা শর্ত পূরণ করে না:
প্রথম গ্রাফটি দেখুন, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) বিন্দুতে সত্য যদি x ডান দিক থেকে 'a' মানের কাছে আসে। কিন্তু x যদি বাম দিক থেকে 'a' মানের কাছে আসে, f(x) f(a) এর কাছে আসছে না, তাই এটি একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন।
