Beide Teile der Analysis, die Differential- und die Integralrechnung, basieren auf Grenzwerten .
Limit ist die beste Vorhersage eines Punktes. Es gibt uns eine Schätzung, wenn wir das Ergebnis nicht direkt berechnen können. Grenzwert ist der Wert, dem sich die Funktion „nähert“, wenn sich die Eingabe einem bestimmten Wert „nähert“.
Lassen Sie uns dieses Konzept anhand eines Beispiels verstehen.
Sei f(x) = 4x − 3. Berechnen Sie die Werte von f(x), wenn x einen Wert näher an 3 annimmt. Schauen Sie sich den Graphen für die Funktion f(x) = 4x − 3 an. Untersuchen Sie Punkte, an denen x näher an 3 liegt.
Betrachten Sie hier zwei Szenarien
(i) x nähert sich 3 von links und
(ii) x nähert sich 3 von rechts.
| X | f(x) | X | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2,91 | 8,64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Sehen Sie die letzte Zeile? In beiden Fällen nähert sich x dem Wert 3, und f(x) nähert sich dem Wert 9. Daher können wir sagen:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Nehmen wir ein anderes Beispiel und finden den Grenzwert für die Funktion f(x), wenn x sich 2 nähert, wobei \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , also \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Wenn wir den Wert von x als 2 setzen, erhalten wir: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{nicht definiert}\)
Dies bedeutet, dass wir den Wert von limit nicht durch Ersetzen des Werts von x im Ausdruck erhalten können. Berechnen wir den Wert von f(x), wenn x sich 2 nähert.
| X | f(x) | X | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Wenn x sich 2 nähert, nähert sich der Wert von \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) 4. Daher gilt:
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Kontinuität kann konzeptionell auf verschiedene Arten definiert werden. Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph mit einem Stift nachgezeichnet werden kann, ohne den Stift von der Seite abzuheben. Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph eine ununterbrochene Kurve ohne Löcher, Lücken oder Brüche ist. Die folgenden Diagramme stellen kontinuierliche Funktionen dar.
Als formalere Definition der Kontinuität können wir sagen, dass eine Funktion f(x) an einem Punkt x = a stetig ist, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(i) f(a) ist definiert (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) existiert (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Überprüfen Sie die in den Diagrammen unten dargestellten Funktionen. Beide Funktionen erfüllen nicht die drei Kontinuitätsbedingungen:
Schauen Sie sich den ersten Graphen an: \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) am Punkt a ist wahr, wenn x sich dem Wert 'a' von der rechten Seite nähert. Wenn sich x jedoch von der linken Seite dem Wert „a“ nähert, nähert sich f(x) nicht f(a), daher handelt es sich um eine unstetige Funktion.
