Ambas partes del cálculo, el cálculo diferencial y el integral, se basan en límites .
El límite es la mejor predicción de un punto. Nos da una estimación cuando no podemos calcular el resultado directamente. El límite es el valor al que la función se "acerca" a medida que la entrada "se acerca" a algún valor.
Entendamos este concepto usando un ejemplo.
Sea f(x) = 4x − 3. Calcule los valores de f(x) cuando x toma un valor más cercano a 3. Mire la gráfica de la función f(x) = 4x − 3. Examine los puntos donde x está más cerca de 3.
Considere dos escenarios aquí
(i) x acercándose a 3 desde la izquierda y
(ii) x acercándose a 3 desde la derecha.
| X | f(x) | X | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
¿Ves la última fila? En ambos casos, cuando x tiende a 3, f(x) tiende a 9. Por lo tanto, podemos decir:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Tomemos otro ejemplo, encuentre el límite para la función f(x) cuando x se acerca a 2, donde \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , es decir \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Si ponemos el valor de x como 2 obtenemos: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{indefinido}\)
Esto implica que no podemos obtener el valor del límite sustituyendo el valor de x en la expresión. Calculemos el valor de f(x) cuando x se aproxima a 2.
| X | f(x) | X | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Cuando x se acerca a 2, el valor de \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) se acerca a 4. Por lo tanto,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
La continuidad se puede definir conceptualmente de varias maneras diferentes. Una función es continua si su gráfica se puede trazar con un bolígrafo sin levantarlo de la página. Una función es continua si su gráfica es una curva continua sin huecos, espacios ni interrupciones. Los siguientes gráficos representan funciones continuas.
Como definición más formal de continuidad, podemos decir que una función f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las siguientes condiciones:
(i) f(a) está definida (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) existe (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Verifique las funciones trazadas en los gráficos a continuación. Ambas funciones no satisfacen las tres condiciones de continuidad:
Mire el primer gráfico, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) en el punto a es verdadero si x se aproxima al valor 'a' desde el lado derecho. Pero si x se aproxima al valor 'a' por el lado izquierdo, f(x) no se acerca a f(a), por lo tanto, es una función discontinua.
