هر دو بخش حساب دیفرانسیل و انتگرال، حساب دیفرانسیل و انتگرال بر اساس حد هستند.
حد بهترین پیش بینی یک نقطه است. زمانی که نتوانیم نتیجه را مستقیماً محاسبه کنیم، تخمینی به ما می دهد. Limit مقداری است که تابع به عنوان ورودی به مقداری نزدیک می شود.
بیایید این مفهوم را با استفاده از یک مثال درک کنیم.
فرض کنید f(x) = 4x − 3. مقادیر f(x) را محاسبه کنید زیرا x مقدار را به 3 نزدیک‌تر می‌کند. برای تابع f(x) = 4x − 3 به نمودار نگاه کنید. نقاطی را که x به 3 نزدیک‌تر است را بررسی کنید.
در اینجا دو سناریو را در نظر بگیرید
(i) x نزدیک به 3 از سمت چپ و
(ii) x از سمت راست به عدد 3 نزدیک می شود.
| ایکس | f(x) | ایکس | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
آیا ردیف آخر را می بینید؟ در هر دو مورد، وقتی x به 3 نزدیک می شود، f(x) به 9 نزدیک می شود. بنابراین، می توان گفت:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
بیایید مثال دیگری بزنیم، با نزدیک شدن x به 2، حد تابع f(x) را پیدا کنیم، جایی که \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) ، یعنی \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
اگر مقدار x را 2 قرار دهیم، به دست می آید: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{تعریف نشده}\)
این بدان معناست که نمی‌توانیم مقدار حد را با جایگزین کردن مقدار x در عبارت بدست آوریم. بیایید مقدار f(x) را با نزدیک شدن x به 2 محاسبه کنیم.
| ایکس | f(x) | ایکس | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
با نزدیک شدن x به 2، مقدار \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) به 4 نزدیک می شود.
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
تداوم را می توان از نظر مفهومی به چند روش مختلف تعریف کرد. یک تابع پیوسته است، اگر بتوان نمودار آن را با قلم بدون برداشتن قلم از صفحه ردیابی کرد. تابعی پیوسته است اگر نمودار آن منحنی ناگسستنی و بدون سوراخ، شکاف یا شکست باشد. نمودارهای زیر توابع پیوسته را نشان می دهند.
به عنوان تعریف رسمی تر از پیوستگی، می توانیم بگوییم که تابع f(x) در نقطه x = a پیوسته است اگر شرایط زیر برآورده شود:
(i) f(a) تعریف شده است (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) وجود دارد (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
توابع ترسیم شده در نمودارهای زیر را بررسی کنید. هر دو تابع سه شرط پیوستگی را برآورده نمی کنند:
به نمودار اول نگاه کنید، \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) در نقطه a درست است اگر x از سمت راست به مقدار 'a' نزدیک شود. اما اگر x از سمت چپ به مقدار 'a' نزدیک شود، f(x) به f(a) نزدیک نمی شود، بنابراین یک تابع ناپیوسته است.
