Les deux parties du calcul, le calcul différentiel et intégral, sont basées sur les limites .
La limite est la meilleure prédiction d'un point. Cela nous donne une estimation lorsque nous ne pouvons pas calculer directement le résultat. La limite est la valeur à laquelle la fonction « s'approche » lorsque l'entrée « s'approche » d'une certaine valeur.
Comprenons ce concept à l'aide d'un exemple.
Soit f(x) = 4x − 3. Calculez les valeurs de f(x) lorsque x prend une valeur plus proche de 3. Regardez le graphique de la fonction f(x) = 4x − 3. Examinez les points où x est plus proche de 3.
Considérons ici deux scénarios
(i) x approchant 3 de la gauche et
(ii) x approchant 3 de la droite.
| X | f(x) | X | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9h48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2,91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Voyez-vous la dernière ligne ? Dans les deux cas, lorsque x tend vers 3, f(x) tend vers 9. On peut donc dire :
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Prenons un autre exemple, trouvons la limite de la fonction f(x) lorsque x s'approche de 2, où \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , c'est-à-dire \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Si nous mettons la valeur de x à 2, nous obtenons : \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{indéfini}\)
Cela implique que nous ne pouvons pas obtenir la valeur de la limite en remplaçant la valeur de x dans l'expression. Calculons la valeur de f(x) lorsque x s'approche de 2.
| X | f(x) | X | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1,5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
À mesure que x s'approche de 2, la valeur de \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) s'approche de 4. Par conséquent,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
La continuité peut être définie conceptuellement de différentes manières. Une fonction est continue si son graphique peut être tracé avec un stylo sans retirer le stylo de la page. Une fonction est continue si son graphique est une courbe ininterrompue sans trous, espaces ou cassures. Les graphiques ci-dessous représentent des fonctions continues.
Comme définition plus formelle de la continuité, nous pouvons dire qu'une fonction f(x) est continue en un point x = a si les conditions suivantes sont remplies :
(i) f(a) est défini (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) existe (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(une)
Vérifiez les fonctions tracées dans les graphiques ci-dessous. Les deux fonctions ne satisfont pas aux trois conditions de continuité :
Regardez le premier graphique, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) au point a est vrai si x s'approche de la valeur « a » du côté droit. Mais si x s'approche de la valeur « a » du côté gauche, f(x) ne s'approche pas de f(a), c'est donc une fonction discontinue.
