कैलकुलस के दोनों भाग, डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस, सीमाओं पर आधारित हैं।
सीमा किसी बिंदु की सर्वोत्तम भविष्यवाणी है। जब हम सीधे परिणाम की गणना नहीं कर सकते तो यह हमें एक अनुमान देता है। सीमा वह मान है जिस तक फ़ंक्शन 'पहुँचता है' जैसे ही इनपुट किसी मान के पास पहुँचता है।
आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण का उपयोग करके समझते हैं।
मान लीजिए f(x) = 4x - 3. f(x) के मानों की गणना करें क्योंकि x मान को 3 के करीब ले जाता है। फ़ंक्शन f(x) = 4x - 3 के लिए ग्राफ़ देखें। उन बिंदुओं की जांच करें जहां x 3 के करीब है।
यहां दो परिदृश्यों पर विचार करें
(i) x बाईं ओर से 3 की ओर आ रहा है और
(ii) x दाईं ओर से तीसरे की ओर आ रहा है।
| एक्स | एफ(एक्स) | एक्स | एफ(एक्स) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
क्या आप अंतिम पंक्ति देखते हैं? दोनों मामलों में जैसे-जैसे x 3 के करीब पहुंचता है, f(x) 9 के करीब पहुंचता है। इसलिए, हम कह सकते हैं:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
आइए एक और उदाहरण लें, जैसे-जैसे x 2 के करीब पहुंचता है, फ़ंक्शन f(x) की सीमा ज्ञात करें, जहां \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , यानी \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
यदि हम x का मान 2 रखते हैं तो हमें मिलता है: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{अपरिभाषित}\)
इसका तात्पर्य यह है कि हम अभिव्यक्ति में x का मान प्रतिस्थापित करके सीमा का मान प्राप्त नहीं कर सकते हैं। जैसे-जैसे x 2 के करीब पहुंचता है, आइए f(x) के मान की गणना करें।
| एक्स | एफ(एक्स) | एक्स | एफ(एक्स) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
जैसे-जैसे x 2 के करीब पहुंचता है, \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) का मान 4 के करीब पहुंचता है। इसलिए,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
निरंतरता को अवधारणात्मक रूप से कुछ अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। एक फ़ंक्शन सतत है, यदि उसके ग्राफ़ को पृष्ठ से पेन उठाए बिना पेन से ट्रेस किया जा सकता है। कोई फ़ंक्शन सतत होता है यदि उसका ग्राफ़ एक अखंडित वक्र है जिसमें कोई छेद, अंतराल या टूटना नहीं है। नीचे दिए गए ग्राफ़ निरंतर कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
निरंतरता की अधिक औपचारिक परिभाषा के रूप में, हम कह सकते हैं कि एक फ़ंक्शन f(x) एक बिंदु x = a पर निरंतर है यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
(i) f(a) परिभाषित है (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) मौजूद है (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = एफ(ए)
नीचे दिए गए ग्राफ़ में प्लॉट किए गए फ़ंक्शंस की जाँच करें। दोनों कार्य तीन निरंतरता शर्तों को पूरा नहीं करते हैं:
पहले ग्राफ़ को देखें, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) बिंदु a पर सत्य है यदि x दाहिनी ओर से मान 'a' की ओर बढ़ता है। लेकिन यदि x बायीं ओर से मान 'a' के करीब पहुंचता है, तो f(x) f(a) के करीब नहीं आ रहा है, इसलिए यह एक असंतत फलन है।
