Oba dijela računa, diferencijalni i integralni račun temelje se na granicama .
Limit je najbolje predviđanje boda. Daje nam procjenu kada ne možemo izravno izračunati rezultat. Limit je vrijednost kojoj se funkcija 'približava' dok se ulaz 'približava' nekoj vrijednosti.
Razumimo ovaj koncept na primjeru.
Neka je f(x) = 4x − 3. Izračunajte vrijednosti f(x) kako x uzima vrijednost bliže 3. Pogledajte graf za funkciju f(x) = 4x − 3. Ispitajte točke u kojima je x bliže 3.
Ovdje razmotrite dva scenarija
(i) x približava se 3 slijeva i
(ii) x približava se 3 s desne strane.
| x | f(x) | x | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Vidite li zadnji red? U oba slučaja kako se x približava 3, f(x) se približava 9. Prema tome, možemo reći:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Uzmimo još jedan primjer, pronađimo granicu za funkciju f(x) kako se x približava 2, gdje \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , tj. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Ako vrijednost x stavimo kao 2, dobivamo: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{nedefiniran}\)
Ovo implicira da ne možemo dobiti vrijednost limita zamjenom vrijednosti x u izrazu. Izračunajmo vrijednost f(x) kako se x približava 2.
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
Kako se x približava 2, vrijednost \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) se približava 4. Prema tome,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Kontinuitet se konceptualno može definirati na nekoliko različitih načina. Funkcija je kontinuirana ako se njezin graf može pratiti olovkom bez podizanja olovke sa stranice. Funkcija je kontinuirana ako je njezin graf neisprekidana krivulja bez rupa, praznina ili lomova. Donji grafikoni predstavljaju kontinuirane funkcije.
Kao formalnija definicija kontinuiteta, možemo reći da je funkcija f(x) kontinuirana u točki x = a ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
(i) f(a) je definiran (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) postoji (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Provjerite funkcije ucrtane u grafikonima ispod. Obje funkcije ne zadovoljavaju tri uvjeta kontinuiteta:
Pogledajte prvi grafikon, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) u točki a vrijedi ako se x približava vrijednosti 'a' s desne strane. Ali ako se x približava vrijednosti 'a' s lijeve strane, f(x) se ne približava f(a), stoga je to diskontinuirana funkcija.
