Kedua bagian kalkulus, kalkulus Diferensial dan Integral didasarkan pada Batas .
Batas adalah prediksi terbaik suatu titik. Ini memberi kita perkiraan ketika kita tidak dapat menghitung hasilnya secara langsung. Batas adalah nilai yang 'mendekati' fungsi ketika masukan 'mendekati' suatu nilai.
Mari kita pahami konsep ini menggunakan sebuah contoh.
Misalkan f(x) = 4x − 3. Hitung nilai f(x) karena x mendekati nilai 3. Perhatikan grafik fungsi f(x) = 4x − 3. Periksa titik-titik di mana x lebih dekat ke 3.
Pertimbangkan dua skenario di sini
(i) x mendekati 3 dari kiri dan
(ii) x mendekati 3 dari kanan.
| X | f(x) | X | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Apakah Anda melihat baris terakhir? Dalam kedua kasus tersebut ketika x mendekati 3, f(x) mendekati 9. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Mari kita ambil contoh lain, carilah limit fungsi f(x) ketika x mendekati 2, di mana \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , yaitu \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Jika kita menempatkan nilai x sebagai 2 kita mendapatkan: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{belum diartikan}\)
Artinya kita tidak bisa mendapatkan nilai limit dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam ekspresi. Mari kita hitung nilai f(x) saat x mendekati 2.
| X | f(x) | X | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Ketika x mendekati 2, nilai \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) mendekati 4. Oleh karena itu,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Kontinuitas dapat didefinisikan secara konseptual dalam beberapa cara berbeda. Suatu fungsi dikatakan kontinu jika grafiknya dapat dijiplak dengan pena tanpa mengangkat pena dari halamannya. Suatu fungsi dikatakan kontinu jika grafiknya berupa kurva tak terputus yang tidak berlubang, tidak ada celah, atau putus. Grafik di bawah ini mewakili fungsi kontinu.
Untuk definisi kontinuitas yang lebih formal, kita dapat mengatakan suatu fungsi f(x) kontinu di titik x = a jika kondisi berikut terpenuhi:
(i) f(a) didefinisikan (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) ada (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Periksa fungsi yang diplot pada grafik di bawah ini. Kedua fungsi tersebut tidak memenuhi tiga kondisi kontinuitas:
Perhatikan grafik pertama, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) di titik a benar jika x mendekati nilai 'a' dari ruas kanan. Tetapi jika x mendekati nilai 'a' dari ruas kiri, f(x) tidak mendekati f(a), maka fungsi tersebut terputus.
