微積分の両方の部分、微分積分と積分は極限に基づいています。
リミットはポイントの最良の予測です。結果を直接計算できない場合は、推定値が得られます。限界とは、入力が何らかの値に「近づく」ときに関数が「近づく」値です。
例を使用してこの概念を理解しましょう。
f(x) = 4x − 3 とします。x が 3 に近い値を取るときに f(x) の値を計算します。関数 f(x) = 4x − 3 のグラフを見てください。x が 3 に近い点を調べます。
ここで 2 つのシナリオを考えてみましょう
(i) x が左から 3 に近づく、および
(ii) x は右から 3 に接近します。
| バツ | f(x) | バツ | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2.95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
最後の行が見えますか？どちらの場合でも、x が 3 に近づくと、f(x) は 9 に近づきます。したがって、次のように言えます。
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
別の例を考えてみましょう。x が 2 に近づくときの関数 f(x) の極限を求めます。ここで\(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) 、つまり\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
x の値を 2 とすると、次のようになります\(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{未定義}\)
これは、式に x の値を代入しても、limit の値を取得できないことを意味します。 x が 2 に近づくときの f(x) の値を計算してみましょう。
| バツ | f(x) | バツ | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1.99 | 3.99 |
x が 2 に近づくと、 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\)の値は 4 に近づきます。
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
連続性は、いくつかの異なる方法で概念的に定義できます。ページからペンを離さずにグラフをペンでなぞることができる場合、関数は連続的です。関数のグラフが穴、ギャップ、切れ目がない連続した曲線である場合、関数は連続的です。以下のグラフは連続関数を表します。
連続性のより正式な定義として、次の条件が満たされる場合、関数 f(x) は点 x = a で連続であると言えます。
(i) f(a) が定義されている (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \)が存在する (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
以下のグラフにプロットされた関数を確認してください。どちらの関数も次の 3 つの連続条件を満たしていません。
最初のグラフを見てください。x が右側から値 'a' に近づく場合、点 a \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) が真になります。しかし、x が左側から値 'a' に近づく場合、f(x) は f(a) に近づかないため、不連続関数になります。
