Двата дела на пресметката, диференцијалното и интегралното сметање се засноваат на граници .
Границата е најдоброто предвидување на точка. Ни дава проценка кога не можеме директно да го пресметаме резултатот. Ограничување е вредноста на која функцијата „приближува“ додека влезот „приближува“ до одредена вредност.
Ајде да го разбереме овој концепт користејќи пример.
Нека f(x) = 4x − 3. Пресметајте ги вредностите на f(x) бидејќи x ја зема вредноста поблиску до 3. Погледнете го графикот за функцијата f(x) = 4x − 3. Испитајте ги точките каде што x е поблиску до 3.
Размислете за две сценарија овде
(i) x се приближува до 3 од лево и
(ii) x се приближува до 3 од десно.
| x | f(x) | x | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Дали го гледате последниот ред? Во двата случаи кога x се приближува до 3, f(x) се приближува до 9. Затоа, можеме да кажеме:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Да земеме друг пример, да ја пронајдеме границата за функцијата f(x) кога x се приближува кон 2, каде што \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , т.е. \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Ако ја ставиме вредноста на x како 2, ќе добиеме: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{недефинирано}\)
Ова значи дека не можеме да ја добиеме вредноста на лимитот со замена на вредноста на x во изразот. Да ја пресметаме вредноста на f(x) кога x се приближува до 2.
| x | f(x) | x | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Како што x се приближува до 2, вредноста на \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) се приближува до 4. Затоа,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Континуитетот може да се дефинира концептуално на неколку различни начини. Функцијата е континуирана, ако нејзиниот график може да се следи со пенкало без да се подигне пенкалото од страницата. Функцијата е континуирана ако нејзиниот график е непрекината крива без дупки, празнини или прекини. Подолу графиконите претставуваат континуирани функции.
Како поформална дефиниција за континуитет, можеме да кажеме дека функцијата f(x) е континуирана во точка x = a ако се исполнети следниве услови:
(i) f(a) е дефинирано (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) постои (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Проверете ги функциите прикажани на графиконите подолу. И двете функции не ги задоволуваат трите услови за континуитет:
Погледнете го првиот графикон, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) во точката a е точно ако x се приближи до вредноста 'a' од десната страна. Но, ако x се приближи до вредноста „a“ од левата страна, f(x) не се приближува до f(a), па затоа е дисконтинуирана функција.
