क्यालकुलसका दुवै भागहरू, विभेदक र एकीकृत क्यालकुलसहरू सीमाहरूमा आधारित हुन्छन्।
सीमा बिन्दुको सबैभन्दा राम्रो भविष्यवाणी हो। यसले हामीलाई एक अनुमान दिन्छ जब हामी प्रत्यक्ष परिणाम गणना गर्न सक्दैनौं। सिमा भनेको मान हो जुन प्रकार्यले इनपुटको रूपमा केही मानलाई 'अप्रोच' गर्छ।
एउटा उदाहरण प्रयोग गरेर यो अवधारणा बुझौं।
मानौं f(x) = 4x − 3। x ले मान 3 को नजिक लैजाने रूपमा f(x) को मानहरू गणना गर्नुहोस्। प्रकार्य f(x) = 4x − 3 को लागि ग्राफ हेर्नुहोस्। x 3 भन्दा नजिक भएको बिन्दुहरू जाँच गर्नुहोस्।
यहाँ दुई परिदृश्यहरू विचार गर्नुहोस्
(i) x बायाँबाट 3 नजिक आउँदैछ र
(ii) x दायाँबाट 3 नजिक आउँदैछ।
| x | f(x) | x | f(x) | |
| २ | ५ | ४ | १३ | |
| २.२ | ५.८ | ३.५ | ११ | |
| २.५ | ७ | ३.२ | ९.८ | |
| २.८ | ८.२ | ३.१२ | ९.४८ | |
| २.९ | ८.६ | ३.१ | ९.४ | |
| २.९१ | ८.६४ | ३.०९ | ९.३६ | |
| २.९५ | ८.८ | ३.०५ | ९.२ | |
| 2.999 | ८.९९६ | ३.०१ | ९.०४ |
के तपाइँ अन्तिम पङ्क्ति देख्नुहुन्छ? दुबै अवस्थामा x 3 मा पुग्दा, f(x) 9 मा पुग्छ। त्यसैले, हामी भन्न सक्छौं:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
अर्को उदाहरण लिऔं, प्रकार्य f(x) को लागि सीमा पत्ता लगाउनुहोस् जब x 2 पुग्छ, जहाँ \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , अर्थात् \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
यदि हामीले x को मान २ को रूपमा राख्यौं भने हामीले पाउँछौं: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{अपरिभाषित}\)
यसले अभिव्यक्तिमा x को मान प्रतिस्थापन गरेर सीमाको मान प्राप्त गर्न सक्दैन भन्ने बुझाउँछ। x 2 सम्म पुग्दा f(x) को मान गणना गरौं।
| x | f(x) | x | f(x) |
| १ | ३ | २.५ | ४.५ |
| १.२ | ३.२ | २.२ | ४.२ |
| १.५ | ३.५ | २.१ | ४.१ |
| १.८ | ३.८ | २.०५ | ४.०५ |
| १.९ | ३.९ | २.०१ | ४.०१ |
| १.९९ | ३.९९ |
x २ को नजिक पुग्दा, \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) को मान ४ सम्म पुग्छ। त्यसैले,
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
निरन्तरतालाई अवधारणात्मक रूपमा केही फरक तरिकामा परिभाषित गर्न सकिन्छ। एक प्रकार्य निरन्तर हुन्छ, यदि पृष्ठबाट कलम नउठाएर यसको ग्राफ पेनद्वारा ट्रेस गर्न सकिन्छ। एक प्रकार्य निरन्तर हुन्छ यदि यसको ग्राफ कुनै प्वालहरू, खाली ठाउँहरू, वा ब्रेकहरू बिना एक अभंग वक्र हो। तलको ग्राफले निरन्तर कार्यहरू प्रतिनिधित्व गर्दछ।
निरन्तरता को अधिक औपचारिक परिभाषा को रूप मा, हामी एक प्रकार्य f(x) एक बिन्दु x = a मा निरन्तर छ यदि निम्न सर्तहरू पूरा भए भन्न सक्छौं:
(i) f(a) परिभाषित छ (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) अवस्थित (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
तलको ग्राफमा प्लट गरिएका कार्यहरू जाँच गर्नुहोस्। दुबै प्रकार्यहरूले तीन निरन्तरता सर्तहरू पूरा गर्दैनन्:
पहिलो ग्राफमा हेर्नुहोस्, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) बिन्दु a मा सही छ यदि x ले दायाँ तर्फबाट मान 'a' मा पुग्छ। तर यदि x ले बायाँ तर्फबाट मान 'a' मा पुग्छ भने, f(x) f(a) मा आउँदैन, त्यसैले यो एक अवरुद्ध प्रकार्य हो।
