Beide delen van calculus, differentiaal- en integraalrekening, zijn gebaseerd op limieten .
Limiet is de beste voorspelling van een punt. Het geeft ons een schatting als we het resultaat niet rechtstreeks kunnen berekenen. Limiet is de waarde die de functie 'benadert' terwijl de invoer een bepaalde waarde 'benadert'.
Laten we dit concept begrijpen aan de hand van een voorbeeld.
Stel f(x) = 4x − 3. Bereken waarden van f(x) terwijl x een waarde dichter bij 3 aanneemt. Kijk naar de grafiek voor functie f(x) = 4x − 3. Onderzoek punten waar x dichter bij 3 ligt.
Beschouw hier twee scenario's
(i) x nadert 3 van links en
(ii) x nadert 3 van rechts.
| X | f(x) | X | f(x) | |
| 2 | 5 | 4 | 13 | |
| 2.2 | 5.8 | 3.5 | 11 | |
| 2.5 | 7 | 3.2 | 9.8 | |
| 2.8 | 8.2 | 3.12 | 9.48 | |
| 2.9 | 8.6 | 3.1 | 9.4 | |
| 2.91 | 8.64 | 3.09 | 9.36 | |
| 2,95 | 8.8 | 3.05 | 9.2 | |
| 2.999 | 8.996 | 3.01 | 9.04 |
Zie jij de laatste rij? In beide gevallen waarin x 3 nadert, nadert f(x) 9. Daarom kunnen we zeggen:
\(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)
Laten we nog een voorbeeld nemen: zoek de limiet voor functie f(x) als x dichter bij 2 komt, waarbij \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) , dwz \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = ?\)
Als we de waarde van x op 2 zetten, krijgen we: \(\frac {(2^2- 4)} {(2 - 2)} =\frac{0}{ 0} = \textrm{ongedefinieerd}\)
Dit houdt in dat we de waarde van limit niet kunnen verkrijgen door de waarde van x in de uitdrukking te vervangen. Laten we de waarde van f(x) berekenen als x 2 nadert.
| X | f(x) | X | f(x) |
| 1 | 3 | 2.5 | 4.5 |
| 1.2 | 3.2 | 2.2 | 4.2 |
| 1.5 | 3.5 | 2.1 | 4.1 |
| 1.8 | 3.8 | 2.05 | 4.05 |
| 1.9 | 3.9 | 2.01 | 4.01 |
| 1,99 | 3,99 |
Naarmate x 2 nadert, nadert de waarde van \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) 4. Daarom geldt:
\(\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4\)
Continuïteit kan conceptueel op een aantal verschillende manieren worden gedefinieerd. Een functie is continu als de grafiek ervan met een pen kan worden gevolgd zonder de pen van de pagina te halen. Een functie is continu als de grafiek ervan een ononderbroken curve is zonder gaten, gaten of onderbrekingen. Onderstaande grafieken vertegenwoordigen continue functies.
Als meer formele definitie van continuïteit kunnen we zeggen dat een functie f(x) continu is op een punt x = a als aan de volgende voorwaarden is voldaan:
(i) f(a) is gedefinieerd (ii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) bestaat (iii) \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a)
Controleer de functies die in de onderstaande grafieken zijn uitgezet. Beide functies voldoen niet aan de drie continuïteitsvoorwaarden:
Kijk naar de eerste grafiek, \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) = f(a) op punt a is waar als x de waarde 'a' vanaf de rechterkant benadert. Maar als x de waarde 'a' vanaf de linkerkant benadert, nadert f(x) f(a) niet, en is het dus een discontinue functie.
